高考数学总复习 基础知识名师讲义 第六章 第五节合情推理与演绎推理 理

第五节 含绝对值的不等式

知识梳理

一、绝对值的基本性质

??a，a≥0，

设a∈R，则|a|＝?

?－a，a＜0.?

(1)|a|≥0(当且仅当a＝0时，取等号)； (2)|a|≥±a； (3)－|a|≤a≤|a|；

(4)|－a|＝|a|，|a－b|＝|b－a|； (5)|a|＝a.

二、绝对值的运算性质

1．|a|－|b|≤|a＋b|≤|a|＋|b|(注意等号成立的条件)． 2．|a|－|b|≤|a－b|≤|a|＋|b|(注意等号成立的条件)．

以上二式中，左边分别在ab≤0(≥0)时取得等号，右边分别在ab≥0(≤0)时取得等号．

2

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3．|a·b|＝|a|·|b|. 4.??＝

?a?|a|. ?b?|b|

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三、解绝对值不等式的思路

1．若a>0，x∈R，则|x|a?x>a?x<－a或x>a.

?－a0，?

若a∈R，则需对a进行分类讨论：|x|

???，a≤0；

|x|>a?

x>a或x<－a，a>0，??

?x≠0，a＝0，??x∈R，a<0.

2．|f(x)|≤g(x)?－g(x)≤f(x)≤g(x)，|f(x)|≥g(x)?f(x)≥g(x)或

f(x)≤－g(x).

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3．|f(x)|≥|g(x)|?f(x)≥g(x)?[(f(x)＋g(x)]·[f(x)－g(x)]

≥0.

4．含有多个绝对值符号的不等式，例如：形如|x－a|＋|x－b|≥c，|x－a|＋|x＋a|≤c或|x－a|－|x－b|≥c的不等式的求解通常采用“零点分段讨论法”求解，也可利用绝对值的几何意义去求解．

5．含有参数的不等式的求解，通常要对参数分类讨论． 四、解答含绝对值问题的常用策略

(1)定义策略；(2)平方策略；(3)定理策略；(4)等价转化策略；(5)分段讨论策略；(6)数形结合策略．

五、证明绝对值不等式的方法

证明绝对值不等式的基本思想和基本方法有转化思想和比较法，分析法，换元法，综合法，放缩法，反证法等． 基础自测 1．若命题p：|x＋1|<2，命题q：x<2－x，则￢p是￢q的 ( ) A．必要不充分条件 B．充分不必要条件

2

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

解析：解|x＋1|<2得－3

2

x得－2

∴￢p是￢q的充分不必要条件．故选B. 答案：B

???3

<12．已知实数集R，集合M＝{x||x＋2|<2}，N＝?x?x＋1???

??

?，则M∩(?RN)＝( ) ??

A．{x|－42}

解析：由|x＋2|<2?－2

32－xx－2

<1?<0?>0?x<－1或x>2， x＋1x＋1x＋1

∴N＝{x|x<－1或x>2}，∴?RN＝{x|－1≤x≤2}， ∴M∩(?RN)＝{x|－1≤x<0}.故选C. 答案：C

3．不等式|x－2|＞x－2的解集是________． 解析：原不等式同解于x－2＜0，即x＜2. 答案：{x|x＜2}

4．若关于x的不等式|a|≥|x＋1|＋|x－2|存在实数解，则实数a的取值范围是________．

解析：令y＝|x＋1|＋|x－2|，由题意知应|a|≥ymin，而y＝|x＋1|＋|x－2|≥|x＋1－x＋2|＝3，所以a≥3或a≤－3.

答案：(－∞，－3]∪[3，＋∞)

1．(2013·江西卷)在实数范围内，不等式||x－2|－1|≤1的解集为________． 解析：由||x－2|－1|≤1得－1≤|x－2|－1≤1，

??|x－2|≥0，解???|x－2|≤2，

得0≤x≤4.∴不等式的解集为[0,4]．

答案：[0,4]

2．(2013·重庆卷)若关于实数x的不等式|x－5|＋|x＋3|

解析：因为|x－5|＋|x＋3|表示数轴上的动点x到数轴上的点－3,5的距离之和，而(|x－5|＋|x＋3|)min＝8，所以当a≤8时，|x－5|＋|x＋3|

答案：(－∞，8]

1．(2013·潮州二模)已知不等式|x－2|＞1的解集与不等式x＋ax＋b＞0的解集相等，则a＋b的值为________．

解析：由不等式|x－2|＞1，可得x－2＞1或x－2＜－1，解得x＞3或x＜1，故不等式|x－2|＞1的解集为{x|x＞3或x＜1}，即不等式x＋ax＋b＞0的解集为{x|x＞3或x＜1}．所以3＋1＝－a,3×1＝b，所以a＋b＝－4＋3＝－1.

答案：－1

2．若关于x的不等式|x|＋|x－1|≤a有解，则实数a的取值范围是________． 解析：|x|＋|x－1|≥|x－(x－1)|＝1，即|x|＋|x－1|的最小值为1，若原不等式有解，则必须a≥1.∴实数a的取值范围是[1，＋∞)．

答案：[1，＋∞)

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