2024高考数学新高考版一轮习题：专题3 第30练 高考大题突破练——导数 (含解析)

g′(x)＝ex＋cos x－x≥1＋cos x≥0. 1

∴g(x)＝ex＋sin x－x2在R上单调递增，

2∵g(0)＝1，∴x1<0

令f (x)＝g(－x)＋g(x)－2＝ex＋e－x－x2－2(x>0)， 则F′(x)＝ex－e－x－2x， 令G(x)＝F′(x)， 则G′(x)＝ex＋e－x－2>0，

故x>0时，F′(x)单调递增，F′(x)>0， ∴f (x)单调递增， ∴f (x)>0，得证．

11

－?＝－f (x)， 4．解 (1)因为f (－x)＝(－x)3＋3(－x)－??x?3且f (x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)， 所以函数f (x)是奇函数， 1

又f′(x)＝x2＋2＋3≥2x

1x2·2＋3＝5>0， x

所以f (x)在(－∞，0)和(0，＋∞)上单调递增． 又f (a－1)＋f (2a2)>0， 即f (2a2)>f (1－a)， 所以2a2>1－a>0， 即2a2＋a－1>0， 1

解得a<－1或

2

1?

故实数a的取值范围为(－∞，－1)∪??2，1?. 131??1?x＋3＋2x＋ (2)g(x)＝?x??x?3?1111

x＋??x2＋2－1?＋2?x＋?， ＝?x??x?3?x??1

令t＝x＋，∵x<0，

x

1

∴t≤－2，∴g(x)＝h(t)＝t3＋t，

3又h′(t)＝t2＋1>0时，

∴h(t)在(－∞，－2]上为增函数， 14

∴h(t)max＝h(－2)＝－，

314

－∞，－?. ∴h(t)的值域是?3??2－2n

∵g(x)≤(n∈N*)恒成立，

32－2n14∴≥－，2n－2≤14，

33∴n≤4，n的最大值为4.