2020-2021中考数学相似的综合复习及详细答案
一、相似
1．如图，抛物线y=
x2+bx+c 与x轴交于点A和点B，与y轴交于点C，点B坐标为
（6，0），点C坐标为（0，6），点D是抛物线的顶点．
（1）求抛物线的解析式及点D的坐标；
（2）如图1，抛物线的对称轴与x轴交于点E，连接BD，点F是抛物线上的动点，当∠FBA=∠BDE时，求点F的坐标；
（3）如图2，若点M是抛物线上的动点，过点M作MN∥x轴与抛物线交于点N，点P在x轴上，点Q在坐标平面内，以线段MN为对角线作正方形MPNQ，求点Q的坐标．
【答案】（1）解：把B（6，0），C（0，6）代入y=
x2+bx+c，得
解得
,抛物线的解析式是y=
x2+2x+6, 顶点D的坐标是（2，8）
（2）解：如图1，过F作FG⊥x轴于点G， 设F（x，
x2+2x+6），则FG=
，
，
∵∠FBA=∠BDE，∠FGB=∠BED=90°，∴△FBG∽△BDE，∴
∵B（6，0），D（2，8），∴E（2，0），BE=4，DE=8，OB=6，∴BG=6-x，
∴
当点F在x轴上方时，有 为（-1， ）,
，∴x=-1或x=6（舍去），此时F1的坐标
当点F在x轴下方时，有 标为（-3，
）,
，∴x=-3或x=6（舍去），此时F2的坐
综上可知F点的坐标为（-1， ）或（-3，
）
（3）解：如图2，
不妨M在对称轴的左侧，N在对称轴的左侧，MN和PQ交于点K，由题意得点M，N关于抛物线的对称轴对称，四边形MPNQ为正方形，且点P在x轴上 ∴点P为抛物线的对称轴与x轴的交点，点Q在抛物线的对称轴上 , ∴KP=KM=k，则Q（2，2k），M坐标为（2-k，k）， ∵点M在抛物线y= 解得k1=
x2+2x+6的图象上，∴k= 或k2=
）或Q2（2，
）.
(2-k)2+2(2-k)+6
∴满足条件的点Q有两个，Q1（2，
求解就可得出函数解析式，再求出顶点坐标。
【解析】【分析】（1）根据点B、C的坐标，利用待定系数法建立关于b、c的方程组，（2）过F作FG⊥x轴于点G，设出点F的坐标，表示出FG的长，再证明△FBG∽△BDE，利用相似三角形的性质建立关于x的方程，当点F在x轴上方时和当点F在x轴下方时，求出符合题意的x的值，求出点F的坐标。
（3）由点M，N关于抛物线的对称轴对称，可得出点P为抛物线的对称轴与x轴的交点，
点Q在抛物线的对称轴上 ,设Q（2，2k），M坐标为（2-k，k），再由点M在抛物线上，列出关于k的方程，求解即可得出点Q的坐标。
2．如图，抛物线 分别交于点P、N．
过点
，
．
为线段
OA上一个动点（点M与点A不重合），过点M作垂直于x轴的直线与直线AB和抛物线
（1）求直线AB的解析式和抛物线的解析式； （2）如果点P是MN的中点，那么求此时点N的坐标； （3）如果以B，P，N为顶点的三角形与 【答案】（1）解：设直线 ∵
，
的解析式为
相似，求点M的坐标．
（
）
经过点
，
∴ 解得
∴直线 的解析式为 ∵抛物线
∴ ∴
解得
（2）解：∵ ∴
∵ 点是 的中点
轴， ，
则
，
∴ ∴ 解得 ∴
，
（不合题意，舍去）
（3）解：∵ ∴ ∴ ∵ ∴当
与 ，
，
，
相似时，存在以下两种情况：
∴ ∴
解得
∴ ∴
,解得
【解析】【分析】（1）运用待定系数法解答即可。
（2）由（1）可得直线AB的解析式和抛物线的解析式，由点M（m,0）可得点N，P用m表示的坐标，则可求得NP与PM，由NP=PM构造方程，解出m的值即可。 （3）在 △BPN与△APM中，∠BPN=∠APM，则有
和
这两种情况，分别用
含m的代数式表示出BP，PN，PM，PA，代入建立方程解答即可。
3．如图，已知抛物线y＝﹣x2＋bx＋c交y轴于点A（0,4），交x轴于点B（4,0），点P
是抛物线上一动点，过点P作x轴的垂线PQ，过点A作AQ⊥PQ于点Q，连接AP．
（1）填空：抛物线的解析式为________，点C的坐标________； （2）点P在抛物线上运动，若△AQP∽△AOC，求点P的坐标. 【答案】（1）y＝﹣x2＋3x＋4；（－1,0）
（2）解：∵点A的坐标为（0，4），点C的坐标为（－1，0），∴ ∵点P的横坐标为m，∴P（m， ﹣m2＋3m＋4）．
①当点P在直线AQ下方时，QP＝4－（﹣m2＋3m＋4）＝ m2－3m， 由△AQP∽△AOC得： ∴ 当
（舍去）或
，即： ．
）；
，
．
时，﹣m2＋3m＋4＝ ，此时点P的坐标为（
②当点P在直线AQ上方时，PQ＝﹣m2＋3m＋4－4＝﹣m2＋3m， 由△AQP∽△AOC得：
，即：
， ）．
∴ ＝0（舍去）或 ＝ ，此时P点坐标为（ 综上所述：点P的坐标为（ B（4，0）， ∴
，解得：
）或（
）．
【解析】【解答】解：（1）∵抛物线y＝﹣x2＋bx＋c交y轴于点A（0，4），交x轴于点
，∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2＋3x＋4．
令y=0，得：﹣x2＋3x＋4=0，解得：x=4或x=－1，∴点C的坐标为（－1，0）． 【分析】（1）根据题意，将A,B两点的坐标代入到解析式中，分别求出b，c，可以求出抛物线的解析式；
（2）C为x轴上的交点，令y=0，通过解一元二次方程，解得C点坐标。
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