专题1 两个计数原理
类型一、加法原理
【例1】高二年级一班有女生18人,男生38人,从中选取一名学生作代表,参加学校组织的调查团,问选取代表的方法有几种. 【解析】18+38=56.
【例2】若a、b是正整数,且a【解析】66=36.
【例3】用0到9这10个数字,可以组成没有重复数字的三位偶数的个数为( )
A.324
B.328 C.360
D.648
b≤6,则以(a,b)为坐标的点共有多少个?
【解析】由题意知本题要分类来解, 当尾数为2、4、6、8时,个位有4种选法,
因百位不能为0,所以百位有8种,十位有8种,共有884当尾数为0时,百位有9种选法,十位有8种结果, 共有98172
根据分类计数原理知共有256故选:B.
【例4】用数字1,2,3,4,5组成的无重复数字的四位偶数的个数为( )
A.8
B.24
C.48
D.120
72328
256
【解析】由题意知本题需要分步计数,
12和4排在末位时,共有A22种排法,
43224种排法, 48(个).
3其余三位数从余下的四个数中任取三个有A4根据由分步计数原理得到符合题意的偶数共有224故选:C.
【例5】用0,,12,3,4,5这6个数字,可以组成____个大于3000,小于5421的数字不重复的四位数.
3【解析】分四类:①千位数字为3,4之一时,百十个位数只要不重复即可,有2A512A4②千位数字为5时,百位数字为0,1,2,3之一时,有A411A3数字是0,1之一时,有A2120个;
48个;③千位数字为5时,百位数字是4,十位
6个;最后还有5420也满足题意.
所以,所求四位数共有120+48+6+1=175个. 故答案为 175. 类型二、乘法原理
【例6】公园有4个门,从一个门进,一个门出,共有_____种不同的走法. 【解析】根据题意,要求从从任一门进,从任一门出, 则进门的方法有4种,出门的方法也有4种, 则不同的走法有4416种
【例7】将3个不同的小球放入4个盒子中,则不同放法种数有_______. 【解析】根据题意,依次对3个小球进行讨论:
第一个小球可以放入任意一个盒子,即有4种不同的放法, 同理第二个小球也有4种不同的放法, 第三个小球也有4种不同的放法, 即每个小球都有4种可能的放法, 根据分步计数原理知共有即444故答案为:64.
【例8】如果在一周内(周一至周日)安排三所学校的学生参观某展览馆,每天最多只安排一所学校,要求甲学校连续参观两天,其余两所学校均只参观一天,那么不同的安排方法共有 种.
【解析】分两步完成,第一步先安排甲学校参观,共六种安排方法;第二步安排另外两所学校,共有A52安排方法,故不同的安排种法有6A52故答案为120.
【例9】高二年级一班有女生18人,男生38人,从中选取一名男生和一名女生作代表,参加学校组织的调查团,问选取代表的方法有几种.
11C38【解析】C1864不同的放法,
120,
684
【例10】六名同学报名参加三项体育比赛,每人限报一项,共有多少种不同的报名结果?
【解析】每人都可以从这三个比赛项目中选报一项,各有3种不同的报名方法,根据分步乘法计数原理,可得共有不同的报名方法36729种.
【例11】六名同学参加三项比赛,三个项目比赛冠军的不同结果有多少种? 【解析】由题意,每项比赛的冠军都有6种可能, 因为有3项体育比赛,所以冠军获奖者共有66663种可能
【例12】用1,2,3,4,5,6组成六位数(没有重复数字),要求任何相邻两个数字的奇偶性不同,且. 1和2相邻,这样的六位数的个数是__________(用数字作答)【解析】解析:可分三步来做这件事: 第一步:先将3、5排列,共有A22种排法;
第二步:再将4、6插空排列,插空时要满足奇偶性不同的要求,共有2A22种排法;
1第三步:将1、2放到3、5、4、6形成的空中,共有C5种排法.
2212A2C5由分步乘法计数原理得共有A240(种).
答案为:40
x2【例13】从集合{1,2,3,,11}中任选两个元素作为椭圆方程2m区域B{(x,y)||x|11,且|y|9}内的椭圆个数为( )
y2n21中的m和n,则能组成落在矩形
A.43 B.72 C.86
D.90
【解析】椭圆落在矩形内,满足题意必须有,m一类是m,n从{1,2,3,
n,所以有两类,
26,7,8}任选两个不同数字,方法有A856
令一类是m从9,10,两个数字中选一个,n从{1,2,3,方法是:2816
所以满足题意的椭圆个数是:5616故选:B.
72
6,7,8}中选一个
【例14】若一系列函数的解析式相同,值域相同,但其定义域不同,则称这些函数为“同族函数”,那么函数解析式为yx2,值域为{1,9}的“同族函数”共有( )
C.9个
D.10个
A.7个 B.8个
【解析】定义域是集合的子集,且子集中至少应该含有1、1中的一个和3、3中的一个,
满足条件的定义有:{1,3}、{1,3}、{1,3}、{1,3}、{1,1,3}、{1,1,3}、{1,3,3}、{1,3,3}、{1,1,3,3},共9个.
故选:C.
【例15】某银行储蓄卡的密码是一个4位数码,某人采用千位、百位上的数字之积作为十位和个位上的数字(如2816)的方法设计密码,当积为一位数时,十位上数字选0,并且千位、百位上都能取0.这样设计出来的密码共有( )
A.90个
B.99个 C.100个
D.112个
【例16】从集合{4,3,2,1,0,,12,3,4,5}中,选出5个数组成子集,使得这5个数中的任何两个数之和不等于1,则取出这样的子集的个数为( )
A.10 B.32 C.110 D.220
【解析】从集合{1,2,3,4,0,1,2,3,4,5}中,随机选出5个数组成 子集,共有C105种取法,即可组成C105个子集,
2021年新高考数学题型全归纳之排列组合-专题01 两个计数原理(解析版)
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