专题1 两个计数原理
类型一、加法原理
【例1】高二年级一班有女生18人，男生38人，从中选取一名学生作代表，参加学校组织的调查团，问选取代表的方法有几种． 【解析】18+38=56．
【例2】若a、b是正整数，且a【解析】66=36．
【例3】用0到9这10个数字，可以组成没有重复数字的三位偶数的个数为（ ）
A．324
B．328 C．360
D．648
b≤6，则以(a，b)为坐标的点共有多少个？
【解析】由题意知本题要分类来解， 当尾数为2、4、6、8时，个位有4种选法，
因百位不能为0，所以百位有8种，十位有8种，共有884当尾数为0时，百位有9种选法，十位有8种结果， 共有98172
根据分类计数原理知共有256故选：B．
【例4】用数字1，2，3，4，5组成的无重复数字的四位偶数的个数为（ ）
A．8
B．24
C．48
D．120
72328
256
【解析】由题意知本题需要分步计数，
12和4排在末位时，共有A22种排法，
43224种排法， 48（个)．
3其余三位数从余下的四个数中任取三个有A4根据由分步计数原理得到符合题意的偶数共有224故选：C．
【例5】用0，，12，3，4，5这6个数字，可以组成____个大于3000，小于5421的数字不重复的四位数．
3【解析】分四类：①千位数字为3,4之一时，百十个位数只要不重复即可，有2A512A4②千位数字为5时，百位数字为0,1,2,3之一时，有A411A3数字是0,1之一时，有A2120个；
48个；③千位数字为5时，百位数字是4，十位
6个；最后还有5420也满足题意.
所以，所求四位数共有120+48+6+1=175个. 故答案为 175． 类型二、乘法原理
【例6】公园有4个门，从一个门进，一个门出，共有_____种不同的走法． 【解析】根据题意，要求从从任一门进，从任一门出， 则进门的方法有4种，出门的方法也有4种， 则不同的走法有4416种
【例7】将3个不同的小球放入4个盒子中，则不同放法种数有_______． 【解析】根据题意，依次对3个小球进行讨论：
第一个小球可以放入任意一个盒子，即有4种不同的放法， 同理第二个小球也有4种不同的放法， 第三个小球也有4种不同的放法， 即每个小球都有4种可能的放法， 根据分步计数原理知共有即444故答案为：64．
【例8】如果在一周内（周一至周日）安排三所学校的学生参观某展览馆，每天最多只安排一所学校，要求甲学校连续参观两天，其余两所学校均只参观一天，那么不同的安排方法共有 种．
【解析】分两步完成，第一步先安排甲学校参观，共六种安排方法；第二步安排另外两所学校，共有A52安排方法，故不同的安排种法有6A52故答案为120．
【例9】高二年级一班有女生18人，男生38人，从中选取一名男生和一名女生作代表，参加学校组织的调查团，问选取代表的方法有几种．
11C38【解析】C1864不同的放法，
120，
684
【例10】六名同学报名参加三项体育比赛，每人限报一项，共有多少种不同的报名结果？
【解析】每人都可以从这三个比赛项目中选报一项，各有3种不同的报名方法，根据分步乘法计数原理，可得共有不同的报名方法36729种．
【例11】六名同学参加三项比赛，三个项目比赛冠军的不同结果有多少种？ 【解析】由题意，每项比赛的冠军都有6种可能， 因为有3项体育比赛，所以冠军获奖者共有66663种可能
【例12】用1，2，3，4，5，6组成六位数（没有重复数字），要求任何相邻两个数字的奇偶性不同，且． 1和2相邻，这样的六位数的个数是__________（用数字作答）【解析】解析：可分三步来做这件事： 第一步：先将3、5排列，共有A22种排法；
第二步：再将4、6插空排列，插空时要满足奇偶性不同的要求，共有2A22种排法；
1第三步：将1、2放到3、5、4、6形成的空中，共有C5种排法．
2212A2C5由分步乘法计数原理得共有A240（种)．
答案为：40
x2【例13】从集合{1，2，3，，11}中任选两个元素作为椭圆方程2m区域B{(x，y)||x|11，且|y|9}内的椭圆个数为（ ）
y2n21中的m和n，则能组成落在矩形
A．43 B．72 C．86
D．90
【解析】椭圆落在矩形内，满足题意必须有，m一类是m，n从{1，2，3，
n，所以有两类，
26，7，8}任选两个不同数字，方法有A856
令一类是m从9，10，两个数字中选一个，n从{1，2，3，方法是：2816
所以满足题意的椭圆个数是：5616故选：B．
72
6，7，8}中选一个
【例14】若一系列函数的解析式相同，值域相同，但其定义域不同，则称这些函数为“同族函数”，那么函数解析式为yx2，值域为{1，9}的“同族函数”共有（ ）
C．9个
D．10个
A．7个 B．8个
【解析】定义域是集合的子集，且子集中至少应该含有1、1中的一个和3、3中的一个，
满足条件的定义有：{1，3}、{1，3}、{1，3}、{1，3}、{1，1，3}、{1，1，3}、{1，3，3}、{1，3，3}、{1，1，3，3}，共9个．
故选：C．
【例15】某银行储蓄卡的密码是一个4位数码，某人采用千位、百位上的数字之积作为十位和个位上的数字（如2816）的方法设计密码，当积为一位数时，十位上数字选0，并且千位、百位上都能取0．这样设计出来的密码共有（ ）
A．90个
B．99个 C．100个
D．112个
【例16】从集合{4，3，2，1，0，，12，3，4，5}中，选出5个数组成子集，使得这5个数中的任何两个数之和不等于1，则取出这样的子集的个数为（ ）
A．10 B．32 C．110 D．220
【解析】从集合{1，2，3，4，0，1，2，3，4，5}中，随机选出5个数组成 子集，共有C105种取法，即可组成C105个子集，
2021年新高考数学题型全归纳之排列组合-专题01 两个计数原理(解析版)
