第六章 谱分析 Spectral Analysis
到目前为止，t时刻变量Yt的数值一般都表示成为一系列随机扰动的函数形式，一般的模型形式为：
我们研究的重点在于，这个结构对不同时点t和?上的变量Yt和Y?的协方差具有什么样的启示。这种方法被称为在时间域(time domain)上分析时间序列{Yt}????的性质。
在本章中，我们讨论如何利用型如cos(?t)和sin(?t)的周期函数的加权组合来描述时间序列Yt数值的方法，这里?表示特定的频率，表示形式为： 上述分析的目的在于判断不同频率的周期在解释时间序列{Yt}????性质时所发挥的重要程度如何。如此方法被称为频域分析(frequency domain analysis)或者谱分析(spectral analysis)。我们将要看到，时域分析和频域分析之间不是相互排斥的，任何协方差平稳过程既有时域表示，也有频域表示，由一种表示可以描述的任何数据性质，都可以利用另一种表示来加以体现。对某些性质来说，时域表示可能简单一些；而对另外一些性质，可能频域表示更为简单。 §6.1 母体谱 我们首先介绍母体谱，然后讨论它的性质。 6.1.1 母体谱及性质 假设{Yt}????是一个具有均值?的协方差平稳过程，第j个自协方差为： 假设这些自协方差函数是绝对可加的，则自协方差生成函数为：
这里z表示复变量。将上述函数除以2?，并将复数z表示成为指数虚数形式
z?exp(?i?)，i??1，则得到的结果(表达式)称为变量Y的母体谱：
注意到谱是?的函数：给定任何特定的?值和自协方差?j的序列{?j}????，原则上都可以计算sY(?)的数值。
利用De Moivre定理，我们可以将e?i?j表示成为： 因此，谱函数可以等价地表示成为：
注意到对于协方差平稳过程而言，有：?j???j，因此上述谱函数化简为： 利用三角函数的奇偶性，可以得到： 假设自协方差序列{?j}??则可以证明上述谱函数sY(?)存在，并且是?的??是绝对可加的，实值、对称、连续函数。由于对任意2?k，有：sY(??2?k)?sY(?)，因此sY(?)是周期函数，如果我们知道了[0,?]内的所有sY(?)的值，我们可以获得任意?时的sY(?)值。 §6.2 不同过程下母体谱的计算 假设随机过程{Yt}????服从MA(?)过程： 这里： ??2,s?t?(L)???jL，?|?j|??，E(?t?s)?? 0,s?tj?0j?0??j?根据前面关于MA(?)过程自协方差生成函数的推导： 因此得到MA(?)过程的母体谱为： 例如，对白噪声过程而言，?(z)?1，这时它的母体谱函数是常数： 下面我们考虑MA(1)过程，
此时：?(z)?1??z，则母体谱为： 可以化简成为：
显然，当??0时，谱函数sY(?)在[0,?]内是?的单调递减函数；当??0时，谱函数sY(?)在[0,?]内是?的单调递增函数。
对AR(1)过程而言，有：
这时只要|?|?1，则有：?(z)?1/(1??z)，因此谱函数为：
该谱函数的性质为：当??0时，谱函数sY(?)在[0,?]内是?的单调递增函数；当??0时，谱函数sY(?)在[0,?]内是?的单调递减函数。
一般地，对ARMA(p,q)过程而言： 则母体谱函数为： 如果移动平均和自回归算子多项式可以进行下述因式分解： 则母体谱函数可以表示为： 从母体谱函数中计算自协方差 如果我们知道了自协方差序列{?j}????，原则上我们就可以计算出任意?的谱函数sY(?)的数值。反过来也是对的：如果对所有在[0,?]内的?，已知谱函数sY(?)的数值，则对任意给定的整数k，我们也能够计算k阶自协方差?k。这意味着母体谱函数sY(?)和自协方差序列{?j}????包含着相同的信息。其中任何一个都无法为我们提供另外一个无法给出的推断。
下面的命题为从谱函数计算自协方差提供了一个有用的公式： 命题6.1 假设{?j}??则母体谱函数与自协方差之间的关??是绝对可加的自协方差序列，系为： 上述公式也可以等价地表示为： 利用上述谱公式，可以实现谱函数与自协方差函数之间的转换。 解释母体谱函数
假设k?0，则利用命题6.1可以得到时间序列的方差，即?0，计算公式为：
根据定积分的几何意义，上式说明母体谱函数在区间[??,?]内的面积就是?0，也就是过程的方差。
时间序列分析方法第章谱分析
