专题跟踪训练(二十五) 圆锥曲线的方程与性质
一、选择题
1．(2018·广西三市第一次联合调研)若抛物线y＝2px(p>0)上的点A(x0，2)到其焦点的距离是A到y轴距离的3倍，则p等于( )
13
A. B．1 C. D．2 22
[解析] 由题意3x0＝x0＋，x0＝，则＝2，∵p>0，∴p＝2.故选D.
242[答案] D
2．(2018·深圳一模)过点(3,2)且与椭圆3x＋8y＝24有相同焦点的椭圆方程为( ) A.＋＝1
510C.
＋＝1 1510
2
2
2
22
ppp2
x2y2
B.D.
＋＝1 1015＋＝1 105
x2x2
y2
x2y2y2
x2
[解析] 椭圆3x＋8y＝24的焦点为(±5，0)，可得c＝5，设所求椭圆的方程为2
ay294x2y22222
＋2＝1，可得2＋2＝1，又a－b＝5，得b＝10，a＝15，所以所求的椭圆方程为＋＝bab1510
1.故选C.
[答案] C
x2y22
3．(2018·福州模拟)已知双曲线2－2＝1(a>0，b>0)的右顶点与抛物线y＝8x的焦点
ab3
重合，且其离心率e＝，则该双曲线的方程为( )
2
A.－＝1 45C.－＝1 45
2
x2y2y2x2
B.－＝1 54D.－＝1 54
x2y2y2x2
[解析] 易知抛物线y＝8x的焦点为(2,0)，所以双曲线的右顶点是(2,0)，所以a＝2.3xy222
又双曲线的离心率e＝，所以c＝3，b＝c－a＝5，所以双曲线的方程为－＝1，选A.
245
[答案] A
4．(2018·合肥二模)若中心在原点，焦点在y轴上的双曲线离心率为3，则此双曲线的渐近线方程为( )
A．y＝±x
B．y＝±
2
x 2
2
2
C．y＝±2x
1
D．y＝±x
2
[解析] 根据题意，该双曲线的离心率为3，即e＝＝3，则有c＝3a，进而b＝
caa2
c2－a2＝2a.又由该双曲线的焦点在y轴上，则其渐近线方程为y＝±x＝±x.故选B.
b2
[答案] B
5．(2018·郑州一模)已知双曲线－x＝1的两条渐近线分别与抛物线y＝2px(p>0)的
4准线交于A，B两点，O为坐标原点，若△OAB的面积为1，则p的值为( )
A．1 B.2 C．22 D．4
[解析] 双曲线－x＝1的两条渐近线方程是y＝±2x，抛物线y＝2px(p>0)的准线方
4
y2
22
y2
22
p1p程是x＝－，故A，B两点的纵坐标分别是y＝±p.又△AOB的面积为1，∴··2p＝1.
222
∵p>0，∴得p＝2.故选B.
[答案] B
x2y2
6．(2018·东北三校联考)已知F1，F2是双曲线E：2－2＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，
ab过点F1的直线l与E的左支交于P，Q两点，若|PF1|＝2|F1Q|，且F2Q⊥PQ，则E的离心率是( )
A.
571517 B. C. D. 2233
[解析] 设|F1Q|＝t(t>0)，则|PF1|＝2t，由双曲线的定义有，|F2Q|＝t＋2a，|PF2|＝2t＋2a，又F2Q⊥PQ，所以△F1F2Q，△PQF2都为直角三角形．由勾股定理有
??|F1Q|＋|QF2|＝|F1F2|，
?222?|PQ|＋|QF2|＝|PF2|，?
2
2
2
即
2at＝，??3解得?
17c＝??3a.
??t＋
???3t2
t＋2a2
2
＝4c，
2
2
＋t＋2a＝2t＋2a2
，
故离心率e＝＝[答案] D
ca17
.故选D. 3
7．(2018·长沙一模)A是抛物线y＝2px(p>0)上一点，F是抛物线的焦点，O为坐标原点，当|AF|＝4时，∠OFA＝120°，则抛物线的准线方程是( )
2
A．x＝－1 C．x＝－2
B．y＝－1 D．y＝－2
[解析] 过A向准线作垂线，设垂足为B，准线与x轴的交点为D.因为∠OFA＝120°，所以△ABF为等边三角形，∠DBF＝30°，从而p＝|DF|＝2，因此抛物线的准线方程为x＝－1.选A.
[答案] A
x2y2
8．(2018·陕西西安三模)已知圆x＋y－4x＋3＝0与双曲线2－2＝1的渐近线相切，
ab2
2
则双曲线的离心率为( )
23
A.3 B．23 C．22 D.
3
[解析] 将圆的一般方程x＋y－4x＋3＝0化为标准方程(x－2)＋y＝1.由圆心(2,0)
2
2
2
2
到直线x－y＝0的距离为1，得
ba?2b??a????b?21
＝1，解得??＝，所以双曲线的离心率为e＝
?a?3b?2?1＋??
?a?
1＋??＝
?b?223.故选D.
3?a?
[答案] D
23xy9．(2018·宁夏银川一中二模)已知直线y＝x和椭圆2＋2＝1(a>b>0)交于不同的
3ab两点M，N，若M，N在x轴上的射影恰好为椭圆的两个焦点，则椭圆的离心率为( )
A.
2332
B. C. D. 2233
2
2
[解析] 由题意可知，M，N在x轴上的射影恰好为椭圆的两个焦点，则M点坐标为
?c，b?，则b＝23c，则3b2＝23ac，即3c2＋23ac－3a2＝0.
?a?a3??
上式两边同除以a，整理得3e＋23e－3＝0，解得e＝－3或e＝＝
3
.故选C. 3
[答案] C
10．(2018·杭州第一次质检)设双曲线－＝1的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的
43直线l交双曲线左支于A，B两点，则|BF2|＋|AF2|的最小值为( )
A.
19
B．11 C．12 D．16 2
2
2
22
3
.由0 x2y2 [解析] 由双曲线定义可得|AF2|－|AF1|＝2a＝4，|BF2|－|BF1|＝2a＝4，两式相加可得2b|AF2|＋|BF2|＝|AB|＋8，由于AB为经过双曲线的左焦点与左支相交的弦，而|AB|min＝＝ 2 a3，故|AF2|＋|BF2|＝|AB|＋8≥3＋8＝11.故选B. [答案] B 11．(2018·全国卷Ⅰ)已知双曲线C：－y＝1，O为坐标原点，F为C的右焦点，过F3的直线与C的两条渐近线的交点分别为M，N.若△OMN为直角三角形，则|MN|＝( ) 3 A. B．3 C．23 D．4 2 32 [解析] 由双曲线C：－y＝1可知其渐近线方程为y＝±x，∴∠MOx＝30°，∴ 33∠MON＝60°，不妨设∠OMN＝90°，则易知焦点F到渐近线的距离为b，即|MF|＝b＝1，又知|OF|＝c＝2，∴|OM|＝3，则在Rt△OMN中，|MN|＝|OM|·tan∠MON＝3.故选B. x2 2 x2 [答案] B 12．(2018·济宁模拟)如图，椭圆的中心在坐标原点O，顶点分别是A1，A2，B1，B2，焦点分别为F1，F2，延长B1F2与A2B2交于P点，若∠B1PA2为钝角，则此椭圆的离心率的取值范围为( ) A.?0，? ?5＋1? ? 4? B.? ?5＋1? ，1? ?4? C.?0， ??5－1? ? 2? D.? ?5－1? ，1? ?2? → → [解析] 设椭圆的方程为2＋2＝1(a>b>0)，∠B1PA2为钝角可转化为B2A2，F2B1所夹的角为钝角，则(a，－b)·(－c，－b)<0，得b 5－1－5－15－1 或e<，又0 2 2 2 xa2 yb2 ?c?2c??a2 [答案] D 二、填空题 x2y22 13．(2018·成都摸底测试)已知双曲线2－＝1(a>0)和抛物线y＝8x有相同的焦点， a2 则双曲线的离心率为________． x2y2 [解析] 易知抛物线y＝8x的焦点为(2,0)，所以双曲线2－＝1的焦点为(2,0)，则 a2 2 c2 a2＋2＝22，即a＝2，所以双曲线的离心率e＝＝＝2. a2 [答案] 2 14．(2018·湖北八校联考)如图所示，已知椭圆C的中心为原点O，F(－5,0)为C的左焦点，P为C上一点，满足|OP|＝|OF|且|PF|＝6，则椭圆C的方程为________． [解析] 由题意可得c＝5，设右焦点为F′，连接PF′，由|OP|＝|OF|＝|OF′|知，∠PFF′＝∠FPO，∠OF′P＝∠OPF′，∴∠PFF′＋∠OF′P＝∠FPO＋∠OPF′，∴∠FPO＋∠OPF′＝90°，即PF⊥PF′.在Rt△PFF′中，由勾股定理，得|PF′|＝|FF′|－|PF|＝10－6＝8， 由椭圆的定义，得|PF|＋|PF′|＝2a＝6＋8＝14，从而a＝7，a＝49， 于是b＝a－c＝49－5＝24，∴椭圆C的方程为＋＝1. 4924 2 2 2 2 2 2 2 2 2 x2y2
高考数学二轮复习专题六解析几何专题跟踪训练25圆锥曲线的方程与性质理
