常见的“三种”临界特征
(1)有些题目中有“刚好”“恰好”“正好”等字眼，明显表明题述的过程中存在着临界点。
(2)若题目中有“取值范围”“多长时间”“多大距离”等词语，表明题述的过程中存在着“起止点”，而这些起止点往往就是临界点。
(3)若题目中有“最大”“最小”“至多”“至少”等字眼，表明题述的过程中存在着极值，这个极值点往往是临界点。
[典例示法] 排球场总长18 m，网高2.25 m，如图所示，设对方飞来一球，刚好在3 m线正上方被我方运动员击回。假设排球被击回的初速度方向是水平的，那么可认为排球被击回时做平抛运动。(g取10 m/s2)
(1)若击球的高度h＝2.5 m，球击回的水平速度与底线垂直，球既不能触网又不出底线，则球被击回的水平速度在什么范围内？(结果可用根号表示)
(2)若运动员仍从3 m线处起跳，击球高度h满足一定条件时，会出现无论球的水平速度多大都是触网或越界，试求h满足的条件。
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[解析] (1)球以v1速度被击回，球正好落在底线上，则h＝gt1
2x＝v1t1
将x＝12 m，h＝2.5 m 代入得v1＝122 m/s 球以v2速度被击回，球正好触网
1h′＝gt2
22x′＝v2t2
将h′＝(2.5－2.25)m＝0.25 m， x′＝3 m代入 得v2＝65 m/s
故球被击回的速度范围是 65 m/s (2)若h较小，如果击球速度大，会越界，如果击球速度小则会触网，临界情况是球刚好从球网上过去，落地时又刚好压底线，则 xx′＝，x、x′的2h2h′gg 数值同(1)中的值， h′＝h－2.25 m 由此得h＝2.4 m 故若h<2.4 m，无论击球的速度多大，球总是触网或越界。 [答案] (1)65 m/s 平抛运动临界极值问题的分析方法 (1)确定研究对象的运动性质。 (2)根据题意确定临界状态。 (3)确定临界轨迹，画出轨迹示意图。 (4)应用平抛运动的规律，结合临界条件列方程求解。 [跟进训练] 1.一带有乒乓球发射机的乒乓球台如图所示。水平台面的长和宽分别为L1和L2，中间球网高度为h。发射机安装于台面左侧边缘的中点，能以不同速率向右侧不同方向水平发射乒乓球，发射点距台面高度为3h。不计空气的作用，重力加速度大小为g。若乒乓球的发射速率v在某范围内，通过选择合适的方向，就能使乒乓球落到球网右侧台面上，则v的最大取值范围是( ) A． L12 g g 6h L1B． 4L1C． 2L1D． 4 2?4L21＋L2?g 6h2＋L2?g?4L12 6h2＋L2?g?4L12 6h D [设以速率v1发射乒乓球，经过时间t1刚好落到球网正中间。则竖直方1L1L1 向上有3h－h＝gt21 ①，水平方向上有＝v1t1 ②。由①②两式可得v1＝224gh。 设以速率v2发射乒乓球，经过时间t2刚好落到球网右侧台面的两角处，在12 竖直方向有3h＝gt2 ③，在水平方向有 21 得v2＝ 2 ?L2?2 ?2?＋L21＝v2t2 ④。由③④两式可?? 2?4L21＋L2?g 。则v的最大取值范围为v1＜v＜v2。故选项D正确。] 6h 2.(2019·天津部分中学联考)如图为某娱乐节目中某个比赛环节的示意图，参与比赛的选手会遇到一个人造山谷AOB，AO是高h＝3 m的竖直峭壁，OB是以A点为圆心的弧形坡，∠OAB＝60°，B点右侧是一段水平跑道。选手可以自 A点借助绳索降到O点后再爬上跑道，但身体素质好的选手会选择自A点直接跃上跑道。选手可视为质点，忽略空气阻力，重力加速度g取10 m/s2。 (1)若选手以速度v0水平跳出后，恰好能落到水平跑道上，求v0的最小值； (2)若选手以速度v1＝4 m/s水平跳出，求该选手在空中的运动时间。 [解析] (1)若选手以速度v0水平跳出后，恰好能落到水平跑道上，则hsin 60°1310＝v0t，hcos 60°＝gt2，解得v0＝ m/s。 22 (2)若选手以速度v1＝4 m/s水平跳出，因v1 高度y＝gt1，水平前进距离x＝v1t1，且由几何关系可得x2＋y2＝h2，联立解得 2t1＝0.6 s。 310 [答案] (1) m/s (2)0.6 s 2
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