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插入点?1?0.6944， ?2?0.5056?0.618(1?0.5056)?0.8111
相应插入点的函数值f 由于f??1??29.4962,f??2??25.4690，
??1??f??2?，故消去所以消去区间?a,?1?，得到新的搜索区间??1,b?，
则形成新的搜索区间??1,b???a,b???0.6944,1?。至此完成第一次迭代，继续重复迭代过程，最终可得到极小点。
3．用牛顿法求目标函数f?X??16x1?25x2+5的极小点，设X22?0???22?。
T解：由 X?0???f???x??32x??64?T11?????? ??22?，则?f?X0?????f??50x2???100???x??2???2f??x2120 ?f?X?????2f???x2?x1?1?32?120??f?X???????0???2f??x1?x2????320????2f??050?2??x2??0?? 1?50??，其逆矩阵为
?1?1?2??3210200因此可得：X?X???f?X???f?X?????????2??0?? fX1?5，从而经过一次迭代即求得极小点X???04.下表是用黄金分割法求目标函数 f??????迭代序号 0 1
a 0.2 ?1 ?0??64??0??????? 1??100??0?50??T??200?，f?X???5
?的极小值的计算过程，请完成下表。
?2 b 1 y1 比较 y2 ..
.. z.
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迭代序号 0 1 5、 求二元函数f(x1,x2)=x12+x22-4x1-2x2+5在x0=[0 0]T处函数变化率最大的方向和数值？ 解：由于函数变化率最大的方向是梯度方向，这里用单位向量P表示函数变化率最大和数值是梯度的模II?f(x0)II 。求f(x1,x2)在x0点处的梯度方向和数值，计算如下：
a 0.2 ?1 0.5056 ?2 0.6944 0.8111 b 1 1 y1 40.0626 29.4962 比较 y2 〉 29.4962 〉 25.4690 0.5056 0.6944 ??f???x??2x1?f(x0)=?1?=???f??2x2???x2??x0II?f(x0)II =(?4???4?=?? ?2??x0??2?
?f2?f)?()2=(?4)2?(?2)2?25 ?x1?x2??4??????f(x0)??2??P=????f(x0)25????2?5? ?1??5?在x1?x2平面上画出函数等值线和x0（0,0）点处的梯度方向P，如图2-1所示。从图中可以看出，在x0点函数变化率最大的方向P即为等值线的法线方向，也就是同心圆的半径方
向。
6、 用共轭梯度法求二次函数f(x1,x2)=x12+2x22-4x1-2 x1x2 的极小点及极小值？ 解： 取初始点 x0 ??11?
T ..
.. z.
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则 g0?2x0=?f(x)??1?2x2?4??4x?????4?2?2x2?
1?x0??取 d0=-g?4?0=???2?? 沿d0方向进行一维搜索，得
x1=x0+
?0d0=
??1?????4??1?4?0?1??0???2?????1?2??? 0其中的?0为最佳步长，可通过f（x1）=min??1(?),?1?(?0)?0 求得 ?10=4 则
x1 =
?1??1????4??1?4?0??2? ??0???2?????1?2??=?1? 0???2??为建立第二个共轭方向d1，需计算 x1 点处的梯度及系数?0值，得g2x1=?f（x1）=??2x1?2?4??4x?????1?2?2x1?x1??2??
g2?10?g2?5020?14 从而求得第二个共轭方向
dd0=??1?2???1?4?4??2?1=-g1+?0??2????3???
?2??再沿d1进行一维搜索，得
?2??2??2?2?1?x2=x1+?1d1=?1????1?3???1?2????2????2?32??
1??其中的?1为最佳步长，通过f（x2）=min??2(?),??2(?1)?0 求得 ?1=1
?2??2??2?2?1?则 x2= ?1?4?????1?3???13?=?2????2?????2?2?1???2??
计算 x2点处的梯度
z.
..
..
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?2x1?2x2?4??0?g2=?f（x）=????0??0
4x?2x??21?x2?2
说明x2点满足极值必要条件，再根据x2点的海赛矩阵
G(x2)=??2?2? ???24?是正定的，可知x2满足极值充分必要条件。故x2为极小点，即
?4?x?x???
?2?*2而函数极小值为f(x)??8。 7、求约束优化问题
Minf(x)=(x1-2)2+(x2-1)2 s.t. h(x)=x1+2x2-2=0 的最优解？
*解： 该问题的约束最优解为x??1.6*0.2?,f(x*)?0.8。
T由图4-1a可知，约束最优点x为目标函数等值线与等式约束函数（直线）的切点。 用间接解法求解时，可取?2=0.8，转换后的新目标函数为
*?(x,?2)?(x1?2)2?(x2?1)2?0.8(x1?2x2?2)
可以用解析法求min?(x,?2)，即令???0，得到方程组
???2(x1?2)?0.8?0 ?x1???2(x2?1)?1.6?0 ?x2*解此方程组，求得的无约束最优解为：x??1.60.2?,?(x*,?2)?0.8其结果和原约束最
T优解相同。图4-1b表示出最优点x为新目标函数等值线族的中心。
* ..
.. z.
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z.
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图4-1
a）目标函数等值线和约束函数关系 b）新目标函数等值线
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机械优化设计试卷期末考试及答案(补充版)
