人教A版高中数学选修1-1同步作业：第3章 导数及其应用3.3.2

第三章 3.3 3.3.2

一、选择题

1．f′(x0)＝0是可导函数y＝f(x)在点x＝x0处有极值的( B ) A．充分不必要条件 C．充要条件

B．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件

解析 由f′(x0)＝0不能推导出函数y＝f(x)在点x＝x0处有极值，而可导函数y＝f(x)在点x＝x0处有极值可以推导出f′(x0)＝0，故f′(x0)＝0应为可导函数y＝f(x)在点x＝x0处有极值的必要不充分条件．

2．函数y＝x3－3x2－9x(－2

当－20；当－1

3．已知实数a，b，c，d成等差数列，且函数f(x)＝3x－x3的极大值为f(b)＝c，则a＋d＝( D )

A．－2 C．－3

B．2 D．3

解析 f′(x)＝3－3x2，令f′(x)＝0，解得x＝±1，当x<－1或x>1时，f′(x)<0，当－10，因此函数f(x)的极大值点是x＝1，又f(1)＝2，所以b＝1，c＝2，因为a，b，c，d成等差数列，所以a＋d＝b＋c＝3，故选D．

4．设函数f(x)在R上可导，其导函数为f′(x)，且函数f(x)在x＝－2处取得极小值，则函数y＝xf′(x)的图象可能是( C )

解析 ∵f(x)在x＝－2处取得极小值，∴在x＝－2附近的左侧f′(x)<0， 当x<－2时，xf′(x)>0；在x＝－2附近的右侧f′(x)>0， 当－2

5．若函数f(x)＝x2－2bx＋3a在区间(0,1)内有极小值，则实数b的取值范围是( C )

A．(－∞，1) C．(0,1)

B．(1，＋∞) 1－∞，? D．?2??

解析 由题意，得f′(x)＝2x－2b＝2(x－b)． 令f′(x)＝0，解得x＝b.

因为函数f(x)在区间(0,1)内有极小值，所以00.所以实数b的取值范围是{b|0

6．设函数f(x)满足

x2f′(x)＋2xf(x)＝

exe2

，f(2)＝，则x>0时，f(x)( D ) x8

A．有极大值，无极小值 B．有极小值，无极大值 C．既有极大值又有极小值 D．既无极大值也无极小值 解析 由题意，知令

ex22

xf′(x)＋2xf(x)＝[xf(x)]′＝.

x

exg?x?

g′(x)＝，且f(x)＝2，

xx

g(x)＝x2f(x)，则

xg′?x?－2g?x?ex－2g?x?

因此f′(x)＝＝.

x3x3令h(x)＝ex－2g(x)，

2exex?x－2?

则h′(x)＝e－2g′(x)＝e－＝，

xx

x

x

所以当x≥2时，h′(x)≥0；当0

所以当x>0时，f(x)单调递增，f(x)既无极大值也无极小值． 二、填空题

7．函数f(x)＝x3－3a2x＋2a(a>0)的极大值为正数，极小值为负数，则a的取值范围是____(1，＋∞)____.

解析 ∵f′(x)＝3x2－3a2＝3(x－a)(x＋a)(a>0)，

∴f′(x)>0时，得x>a或x<－a；f′(x)<0时，得－a

由题意得?－a3＋3a3＋2a>0，

??a>0，

解得a>1.

8．函数f(x)＝aln x＋bx2＋3x的极值点为x1＝1，x2＝2，则a＝____－2____，b＝____1－____. 22bx2＋3x＋aa

解析 f′(x)＝＋2bx＋3＝，

xx∵函数的极值点为x1＝1，x2＝2，

2bx2＋3x＋a

∴x1＝1，x2＝2是方程f′(x)＝＝0的两根，即是2bx2＋3x＋a＝0的两根．

x

?

∴由根与系数的关系知?a

?2b＝1×2，

3

－＝1＋2，2b

a＝－2，??解得? 1

??b＝－2.

9．若函数y＝－x3＋6x2＋m的极大值等于13，则实数m＝____－19____. 解析 y′＝－3x2＋12x，由y′＝0，得x＝0或x＝4， 容易得出当x＝4时函数取得极大值， 所以－43＋6×42＋m＝13，解得m＝－19. 三、解答题

10．已知直线y＝a与函数y＝x3－3x的图象有三个相异交点，求a的取值范围． 解析 ∵y＝x3－3x，∴y′＝3x2－3. 令y′>0，解得x>1或x<－1； 令y′<0，解得－1

∴y＝x3－3x在(－1,1)上为减函数，在(1，＋∞)和(－∞，－1)上为增函数． ∵x＝－1时，y极大值＝2；x＝1时，y极小值＝－2. ∴y＝x3－3x的大致图象如图．

y＝a表示平行于x轴的一条直线．

由图象知：当－2

11．(2018·广东广州模拟)已知函数f(x)＝(x－a)2(x－b)(a，b∈R，a

(2)设x1，x2是f(x)的两个极值点，x3是f(x)的一个零点，且x3≠x1，x3≠x2.证明：存在实数x4，使得x1，x2，x3，x4按某种顺序排列后构成等差数列，并求x4.

解析 (1)当a＝1，b＝2时，f(x)＝(x－1)2(x－2)， f′(x)＝(x－1)(3x－5)，故f′(2)＝1. 又f(2)＝0，

所以f(x)在点(2,0)处的切线方程为y＝x－2.