函数极值点偏移问题的三种求解策略
湖北省阳新县高级中学 邹生书 (邮编：435200) 【期刊名称】中学数学教学 【年(卷),期】2017(000)003 【总页数】3
极值点偏移问题是高考和模拟考的一大热点问题，这类试题设问新颖、综合性强，难度较大.主要考查数学思想方法和运算求解能力，考查推理论证能力以及分析问题和解决问题的能力，同时考查综合素质和数学素养.下面先介绍极值点偏移问题的背景，然后通过典型试题介绍这类问题的三种求解策略.
1 极值点偏移问题的提出
对于二次函数f(x)=ax2+bx+c来说，我们知道它只有一个极值点x0=-，如果直线y=m与函数f(x)的图象相交于A(x1,f(x1)),B(x2,f(x1))两点，即f(x1)=f(x2)，则=x0，即极值点是AB的中点，我们说极值点没有发生偏移.二次函数极值点没有发生偏移是因为二次函数的图象关于过极值点的直线对称，而对于大多函数来说，函数图象在极值点左右附近的图象并不对称，常常有≠x0，即极值点会向左或向右偏移.
已知函数f(x)在区间(x1,x2)内有唯一极值点x0，且满足f(x1)=f(x2)，若>x0，则说极值点x0在区间(x1,x2)内向左偏移；若 2 极值点偏移问题的求解策略 2.1 构造对称差函数策略 例1 (2010年高考天津卷理科第21题改编)已知函数f(x)=xe-x(x∈R). (I)求函数f(x)的单调区间和极值； (II)如果x1≠x2，且f(x1)=f(x2)，证明x1+x2>2. 解 (I)f′(x)=(1-x)e-x，当x<1时，f′(x)>0，f(x)单调递增；当x>1时，f′(x)<0，f(x)单调递减.所以函数f(x)的单调增区间为(-,1)，减区间为(1,+)，当x=1时函数f(x)有极大值f(1)=，函数没有极小值. (II)若x1≠x2，且f(x1)=f(x2)，则x1,x2是直线y=f(x1)与函数f(x)的图象两个交点的横坐标，不妨设x1 要证x1+x2>2，只要证x2>2-x1，又0 构造函数h(x)=f(x)-f(2-x)，又f(x)=xe-x(x∈R)，所以h(x)=xe-x-(2-x)ex-2，h′(x)=(1-x)(e-x-ex-2)，当0 点评 构造对称差函数策略，就是从函数极值点偏移的角度切入解题，依托原函数的图象和性质，特别是在极值点附近领域的单调性和导数符号等情况，用分析法将所证不等式最后转化为判断对称差函数h(x)=f(x)-f(2-x)的符号来解决.该解法是极值点偏移问题的最基本的解法，在解题过程中原函数的图象和性质如影随行一路陪护，直到成功构造对称差函数才停住脚步，并目送一程.练习1 (2013年高考湖南卷文科第21题)已知函数f(x)=ex. (I)求函数f(x)的单调区间； (II)证明：当f(x1)=f(x2)(x1≠x2)时，求证x1+x2<0. 2.2 构造增量函数策略 (1)构造差值增量函数 例2 (2014年江苏省南通市二模第20题)设函数f(x)=ex-ax+a(a∈R)，其图象与x轴交于A(x1,0),B(x2,0)两点，且x1 解 (I)略；(II)因为f(x)=ex-ax+2a，所以f′(x)=ex-a.要证f′()<0，只要证又<，故只要证a. 依题意f(x1)=0,f(x2)=0，即ex1-ax1+2a=0，ex2-ax2+2a=0.两式相减得ex2-ex1=a(x2-x1)=0，所以a=.故只证只要证两边同除以ex1，则只要证 设x2-x1=2t，则只要证当t>0时，2tet 练习2 (2016年4月湖北七市教科研协作体高三联考文科第21题)已知函数f(x)=m--lnx(m∈R)，若恰有两个零点x1、x2(x1 例3 (2011年高考辽宁卷理科第21题改编)已知函数f(x)=lnx-ax2+(2-a)x. (I)讨论f(x)的单调性； (II)若函数f(x)的图象与x轴交于A、B两点，线段AB中点的横坐标为x0，证明：f′(x0)<0. 解 (I)略； (II)设A(x1,0),B(x2,0)，且x1
函数极值点偏移问题的三种求解策略
