培优篇
讲解
知识点一：定义
例1：若关于x的方程?m?1?xm?2?0是一元一次方程，求m的值，并求出方程的解。
2?m2?1?m2?1,?m?1或m??1 解：由题意，得到??m?1?0当m?1时，m?1?0，?m?1不合题意，舍去。
?当m??1时，关于x的方程?m?1?xm?2?0是一元一次方程，即?2x?2?0，?x?1
2同步训练：
1、当m= 时，方程?m?3?x例2：下列变形正确的是（ ）
A．如果ax?bx，那么a?b B．如果?a?1?x?a?1，那么x?1 C．如果x?y，那么x?5?5?y D．如果a?1x?1，那么x?3、若x?2?1,y?3?4，则用含x的式子表示y= 。 知识点二：含绝对值的方程
绝对值符号中含有未知数的一次方程叫含绝对值符号的一次方程，简称绝对值方程，解这类方程的基本思路是：脱去绝对值符号，将原方程转化为一元一次方程求解，其基本类型与解法是： 1、形如ax?b?c?c?0?的最简绝对值方程
这类绝对值方程可转化为两个普通一元一次方程：ax?b?c或ax?b??c 2、含多重或多个绝对值符号的复杂绝对值方程
这类绝对值方程可通过分类讨论转化为最简绝对值方程求解。
解绝对值方程时，常常要用到绝对值的几何意义，去绝对值符号法则、常用的绝对值基本性质等与绝对值相关的知识、技能与方法。
例3：方程x?5?2x??5的解是 。
解，x?5??2x?5?x?5??2x?5 ①或x?5?2x?5 ② 由①得x?0；由②得x??10，?此方程的解是x?0或x??10 同步训练 1、若x?9是方程
mmm?2?m?3?0是一元一次方程，这个方程的解是 。
?2?1 a2?111x?2?a的解，则a= ；又若当a?1时，则方程x?2?a的解是 。 33992、已知x?x?2，那么19x
?3x?27的值为 。（“希望杯”邀请赛试题）
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例4：方程x?5?3x?7?1的解有（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．无数个 解：运用“零点分段法”进行分类讨论
由x?5?0得，x??5；又由3x?7?0得，x?所以原方程可分为x??5,?5?x?7。 3
77,x?三种情况来讨论。 33当x??5时，方程可化为??x?5???3x?7??1，解得x?6.5 但6.5不满足x??5，故当x??5时，方程无解；
7337时，方程可化为x?5??3x?7??1，解得x?，满足?5??； 344377当x?时，方程可化为x?5??3x?7??1，解得x?5.5，满足x?。
33综上可知，原方程的解有2个，故选B。
当?5?x?例5：（“希望杯”邀请赛）求方程x?1?x?3?4的整数解。 利用绝对值的几何意义借且数轴求解。
根据绝对值的几何意义知：此式表示点P?x?到A点和B点的距离之和PA?PB?4。
A-10B3?整数x只能是?1,0,1,2,3，共5个 又?AB?4,?P点只能在线段AB上，即?1?x?3。又?x为整数，
知识点三：一元一次方程解的情况
一元一次方程ax=b的解由a，b的取值来确定：
(2)若a=0，且b=0，方程变为0·x=0，则方程有无数多个解；
(3)若a=0，且b≠0，方程变为0·x=b，则方程无解
例6、 解关于x的方程(mx-n)(m+n)=0．
分析 这个方程中未知数是x，m，n是可以取不同实数值的常数，因此需要讨论m，n取不同值时，方程解的情况．
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例7、 已知关于x的方程a(2x-1)=3x-2无解，试求a的值．
例8、 k为何正数时，方程kx-k=2kx-5k的解是正数？
来确定：
(1)若b=0时，方程的解是零；反之，若方程ax=b的解是零，则b=0成立．
(2)若ab＞0时，则方程的解是正数；反之，若方程ax=b的解是正数，则ab＞0成立． (3)若ab＜0时，则方程的解是负数；反之，若方程ax=b的解是负数，则ab＜0成立．
例9、 若abc=1，解方程
【分析】像这种带有附加条件的方程，求解时恰当地利用附加条件可使方程的求解过程大大简化．
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例10、 若a，b，c是正数，解方程：
【分析】用两种方法求解该方程。注意观察，巧妙变形，是产生简单优美解法所不可缺少的基本功之一．
例11、 设n为自然数，[x]表示不超过x的最大整数，解方程：
?x?＋2?x?＋3?x?＋…＋n?x?＝n2?n?1?22
分析 要解此方程，必须先去掉[ ]，由于n是自然数，所以n与(n+1)
…，n[x]都是整数，所以x必是整数．
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例12、 已知关于x的方程:
且a为某些自然数时，方程的解为自然数，试求自然数a的最小值．
【强化练习】 1．解下列方程：
2．
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4一元一次方程培优训练（有答案）
