2003年全国硕士研究生入学统一考试
数学(一)试卷答案解析
一、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上）
1（1） lim(cosx)x?0?ln(1?x2) =
1e .
g(x)【分析】 1型未定式，化为指数函数或利用公式limf(x)(1?)=elim(f(x)?1)g(x)进行
计算求极限均可.
1【详解1】 lim(cosx)x?0ln(1?x)2=ex?0ln(1?x2)lim1lncosx,
?sinxlncosxlncosxcoxs??1， ?lim?lim而 limx?0ln(x?02x21?x2)x?0x2故 原式=e?12?1e.
12x12??， 22x【详解2】 因为 lim(cosx?1)?x?01?lim2ln(1?x)x?0?所以 原式=e?12?1e.
【评注】 本题属常规题型
22（2） 曲面z?x?y与平面2x?4y?z?0平行的切平面的方程是
2x?4y?z?5.
【分析】 待求平面的法矢量为n?{2,4,?1}，因此只需确定切点坐标即可求出平面方
22程, 而切点坐标可根据曲面z?x?y切平面的法矢量与n?{2,4,?1}平行确定.
22??【详解】 令 F(x,y,z)?z?x?y，则
Fx???2x，Fy???2y， Fz??1.
设切点坐标为(x0,y0,z0)，则切平面的法矢量为 {?2x0,?2y0,1}，其与已知平面
2x?4y?z?0平行，因此有
?2x0?2y01??， 24?122可解得 x0?1,y0?2，相应地有 z0?x0?y0?5.
故所求的切平面方程为
2(x?1)?4(y?2)?(z?5)?0，即 2x?4y?z?5. 【评注】 本题属基本题型。
（3） 设x?2?an?0?ncosnx(???x??)，则a2= 1 .
【分析】 将f(x)?x(???x??)展开为余弦级数x?其系数计算公式为an?22?an?0?ncosnx(???x??)，
???2?0f(x)cosnxdx.
1?【详解】 根据余弦级数的定义，有 a2? = =
??120x?cos2xdx??02??0x2dsin2x
?1[x2sin2x??sin2x?2xdx]
0????01xdcos2x?[xcos2x?0???cos2xdx]
0? =1.
【评注】 本题属基本题型，主要考查傅里叶级数的展开公式，本质上转化为定积分的计算.
（4）从R的基
2?1???0??,?2????1??到基?1???1??,?2???2??的过渡矩阵为
?????????1??1??1??1?3??2???1?2?? . ??【分析】 n维向量空间中，从基?1,?2,?,?n到基?1,?2,?,?n的过渡矩阵P满足 [?1,?2,?,?n]=[?1,?2,?,?n]P，因此过渡矩阵P为：P=[?1,?2,?,?n]?1[?1,?2,?,?n].
?1??1??1??1?【详解】根据定义，从R的基?1???0??,?2????1??到基?1???1??,?2???2??的过渡矩
????????2阵为
?11??11?P=[?1,?2]?1[?1,?2]????12?.
0?1???? =??13??11??11??2?. ??????0?1??12???1?2?【评注】 本题属基本题型。
（5）设二维随机变量(X,Y)的概率密度为 f(x,y)???6x,0?x?y?1,
其他，?0,则P{X?Y?1}?
1 . 4【分析】 已知二维随机变量(X,Y)的概率密度f(x,y)，求满足一定条件的概率
P{g(X,Y)?z0}，一般可转化为二重积分P{g(X,Y)?z0}=
【详解】 由题设，有 P{X?Y?1}?g(x,y)?z0??f(x,y)dxdy进行计算.
x?y?1??f(x,y)dxdy??dx?1201?xx6xdy
=
?1201(6x?12x2)dx?.
4 y
1 D
O 1 1 x 2
【评注】 本题属基本题型，但在计算二重积分时，应注意找出概率密度不为零与满足不等式x?y?1的公共部分D，再在其上积分即可. 完全类似例题见《文登数学全真模拟试卷》数学一P.14第一大题第（5）小题.
（6）已知一批零件的长度X (单位：cm)服从正态分布N(?,1)，从中随机地抽取16个
,40.49) . 零件，得到长度的平均值为40 (cm)，则?的置信度为0.95的置信区间是(39.51,?(1.645)?0.95.) (注：标准正态分布函数值?(1.96)?0.975【分析】 已知方差?2?1，对正态总体的数学期望?进行估计，可根据
X??X??~N(0,1)，由P{?u?}?1??确定临界值u?，进而确定相应的置信区间. 1122nn【详解】 由题设，1???0.95，可见??0.05. 于是查标准正态分布表知u??1.96.2本题n=16, x?40, 因此，根据 P{X???1.96}?0.95，有 1nP{40???1.96}?0.95，即 P{39.51,40.49}?0.95，故?的置信度为0.95的置
116,40.49) . 信区间是(39.51【评注】 本题属基本题型.
二、选择题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）
（1）设函数f(x)在(??,??)内连续，其导函数的图形如图所示，则f(x)有
(A) 一个极小值点和两个极大值点. (B) 两个极小值点和一个极大值点. (C) 两个极小值点和两个极大值点.
(D) 三个极小值点和一个极大值点. [ C ] y
O x 【分析】 答案与极值点个数有关，而可能的极值点应是导数为零或导数不存在的点，共4个，是极大值点还是极小值可进一步由取极值的第一或第二充分条件判定.
【详解】 根据导函数的图形可知，一阶导数为零的点有3个，而 x=0 则是导数不存在的点. 三个一阶导数为零的点左右两侧导数符号不一致，必为极值点，且两个极小值点，一个极大值点；在x=0左侧一阶导数为正，右侧一阶导数为负，可见x=0为极大值点，故f(x)共有两个极小值点和两个极大值点，应选(C).
【评注】 本题属新题型，类似考题2001年数学一、二中曾出现过，当时考查的是已知f(x)的图象去推导f?(x)的图象，本题是其逆问题. 完全类似例题在文登学校经济类串讲班上介绍过.
（2）设{an},{bn},{cn}均为非负数列，且liman?0,limbn?1,limcn??,则必有
n??n??n??
(A) an?bn对任意n成立. (B) bn?cn对任意n成立.
(C) 极限limancn不存在. (D) 极限limbncn不存在. [ D ]
n??n??【分析】 本题考查极限概念，极限值与数列前面有限项的大小无关，可立即排除(A),(B)； 而极限limancn是0??型未定式，可能存在也可能不存在，举反例说明即可；极
n??限limbncn属1??型，必为无穷大量，即不存在.
n??【详解】 用举反例法，取an?21，bn?1，cn?n(n?1,2,?)，则可立即排除n2(A),(B),(C)，因此正确选项为(D).
【评注】 对于不便直接证明的问题，经常可考虑用反例，通过排除法找到正确选项. 完全类似方法见《数学最后冲刺》P.179.
（3）已知函数f(x,y)在点(0,0)的某个邻域内连续，且limx?0,y?0f(x,y)?xy?1，则 222(x?y)(A) 点(0,0)不是f(x,y)的极值点. (B) 点(0,0)是f(x,y)的极大值点. (C) 点(0,0)是f(x,y)的极小值点.
(D) 根据所给条件无法判断点(0,0)是否为f(x,y)的极值点. [ A ] 【分析】 由题设，容易推知f(0,0)=0，因此点(0,0)是否为f(x,y)的极值，关键看在点(0,0)的充分小的邻域内f(x,y)是恒大于零、恒小于零还是变号.
【详解】 由
x?0,y?0limf(x,y)?xy?1知，分子的极限必为零，从而有f(0,0)=0, 且
(x2?y2)2，于是 f(x,y)?xy?(x2?y2)2 (x,y充分小时）
f(x,y)?f(0,0)?xy?(x2?y2)2.
可见当y=x且x充分小时，f(x,y)?f(0,0)?x2?4x4?0；而当y= -x且x充分小时，
f(x,y)?f(0,0)??x2?4x4?0. 故点(0,0)不是f(x,y)的极值点，应选(A).
【评注】 本题综合考查了多元函数的极限、连续和多元函数的极值概念，题型比较新，
有一定难度. 将极限表示式转化为极限值加无穷小量，是有关极限分析过程中常用的思想。
（4）设向量组I：?1,?2,?,?r可由向量组II：?1,?2,?,?s线性表示，则 (A) 当r?s时，向量组II必线性相关. (B) 当r?s时，向量组II必线性相关. (C) 当r?s时，向量组I必线性相关. (D) 当r?s时，向量组I必线性相关.
[ D ]
【分析】 本题为一般教材上均有的比较两组向量个数的定理：若向量组I：?1,?2,?,?r可由向量组II：?1,?2,?,?s线性表示，则当r?s时，向量组I必线性相关. 或其逆否命题：
2003年考研数学一试题及完全解析(Word版)
