质量也为 m 的小球穿在螺旋环上并可沿螺旋环无摩擦地滑动,首先扶住小球使其静止于螺旋环上的某一点 A ，这时螺旋环也处于静止状态．然后放开小球，让小球沿螺旋环下滑，螺旋环便绕转轴 OO′，转动．求当小球下滑到离其初始位置沿竖直方向的距离为 h 时，螺旋环转动的角速度和小球对螺旋环作用力的大小．(27届复赛)
3.解法一
取直角坐标系Oxy，原点O位于椭圆的中心，则哈雷彗星的椭圆轨道方程为
x2y2?2?1 2ab
（1）
a、b分别为椭圆的半长轴和半短轴，太阳S位于椭圆的一个焦点处，如图1所示．
以Te表示地球绕太阳运动的周期，则Te?1.00年；以ae表示地球到太阳的距离（认为地球绕太阳作圆周运动），则ae?1.00AU，根据开普勒第三定律，有
a3T2 3?2 （2） y
aeTe设c为椭圆中心到焦点的距离，由几何关系得
P c?a?r0 （3）
abOrP S ?P P0xb?a2?c2 （4） 由图1可知，P点的坐标
图1
x?c?rPcos?P （5） y?rPsin?P （6） 把（5）、（6）式代入（1）式化简得
?a（7） 根据求根公式可得
22sin2?P?b2cos2?P?rP?2b2crPcos?P?b2c2?a2b2?0
b2?a?ccos?P?rP?22asin?P?b2cos2?P（8）
由(2)、(3)、(4)、(8)各式并代入有关数据得
rP?0.896AU (9)
可以证明，彗星绕太阳作椭圆运动的机械能为 E=?(10)
Gmms 2a式中m为彗星的质量．以vP表示彗星在P点时速度的大小，根据机械能守恒定律有
Gmms12?Gmms?mvP??????2rP?2a?（11）
得
vP?Gms?（12）
代入有关数据得
21?rPa
vP=4.39?10m?s (13)
设P点速度方向与SP0的夹角为?(见图2)，根据开普勒第二定律
4?1rPvPsin????P??2?（14）
其中?为面积速度，并有
??πab （15） TyP 由（9）、（13）、（14）、（15）式并代入有关数据可得
obrP ??127 （16）
axS P0O
4.二、参考解答：
B N3 E F N2 mg f2 mg C f1 N1 A x y 图2 ?P ?D N4 ??1．建立如图所示坐标系Oxy.两杆的受力情??O 况如图：
f1为地面作用于杆AB的摩擦力，N1为地面对杆AB的支持力，f2、N2为杆AB作用
于杆CD的摩擦力和支持力，N3、N4分别为墙对杆AB和CD的作用力，mg为重力.取杆
AB和CD构成的系统为研究对象，系统平衡时, 由平衡条件有
N4?N3?f1?0 （1） N1?2mg?0 （2）
以及对A点的力矩
11??mglsin??mg?lsin??lsin???N3lcos??N4?lcos??lcos??CF??0 22??即
31mglsin??mglsin??N3lcos??N4?lcos??lcos??CF??022（3）
式中CF待求.F是过C的竖直线与过B的水平线的交点，E为BF与CD的交点．由几何关
系有
CF?lsin?cot? （4）
取杆CD为研究对象，由平衡条件有
N4?N2cos??f2sin??0
（5）
N2sin??f2cos??mg?0 （6）
以及对C点的力矩
N4lcos??1mglsin??0 2（7）
解以上各式可得
N4?1mgtan? 2（8）
1sin?1tan?sin??3N3??tan??tan???22cos?2sin??（9）
（10）
??mg?
?3tan?sin?1tan?sin?f1????cos?2sin??2??mg ? N1?2mg
（11）
N2??sin??（12）
f2??cos??（13）
CD杆平衡的必要条件为
??1?tan?cos??mg 2???1?tan?sin??mg 2?f2??cN2（14）
由（12）、（13）、（14）式得
tan??（15）
AB杆平衡的必要条件为
2??Csin??cos???Ccos??sin?
f1??AN1
(16)
由（10）、（11）、（16）式得
tan?sin?2sin???4?A?3tan?sin?cos?（17）
因此，使系统平衡，?应满足的条件为（15）式和（17）式．
2．将题给的数据代入（15）式可得
近几年全国物理竞赛复赛力学
