2013年高考理科数学全国新课标卷2试题与答案word解析版 

解析：设数列{an}的首项为a1，公差为d，则S10＝10a1＋10?9d＝10a1＋45d＝0，① 215?14d＝15a1＋105d＝25.② 22

联立①②，得a1＝－3，d?，

3

n(n?1)21210所以Sn＝?3n???n?n.

233311020令f(n)＝nSn，则f(n)?n3?n2，f'(n)?n2?n.

33320令f′(n)＝0，得n＝0或n?.

3202020当n?时，f′(n)＞0,0

333＋，则f(6)＝－48，f(7)＝－49，所以当n＝7时，f(n)取最小值－49. 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．

解：(1)由已知及正弦定理得

sin A＝sin Bcos C＋sin Csin B．① 又A＝π－(B＋C)，故

sin A＝sin(B＋C)＝sin Bcos C＋cos Bsin C．② 由①，②和C∈(0，π)得sin B＝cos B，

π又B∈(0，π)，所以B?.

412ac. (2)△ABC的面积S?acsin B?24π由已知及余弦定理得4＝a2＋c2－2accos.

44又a2＋c2≥2ac，故ac?，当且仅当a＝c时，等号成立．

2?2因此△ABC面积的最大值为2+1. 18．

解：(1)连结AC1交A1C于点F，则F为AC1中点． 又D是AB中点，连结DF，则BC1∥DF. 因为DF?平面A1CD，BC1平面A1CD， 所以BC1∥平面A1CD.

2AB得，AC⊥BC. (2)由AC＝CB＝2uuur以C为坐标原点，CA的方向为x轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系C－xyz.

uuuruuuruuurCD＝(1,1,0)，CE＝(0,2,1)，设CA＝2，则D(1,1,0)，E(0,2,1)，A1(2,0,2)， CA1＝(2,0,2)．

S15＝15a1?设n＝(x1，y1，z1)是平面A1CD的法向量，

2013 全国新课标卷2理科数学 第11页

uuur??n?CD?0,?x1?y1?0,则?uuu即? r2x?2z?0.1??n?CA1?0,?1可取n＝(1，－1，－1)．

同理，设m是平面A1CE的法向量，

uuur??m?CE?0,则?uuu可取m＝(2,1，－2)． r??m?CA1?0,

从而cos〈n，m〉＝故sin〈n，m〉＝

n·m3， ?|n||m|36. 36. 3即二面角D－A1C－E的正弦值为19．

解：(1)当X∈[100,130)时，T＝500X－300(130－X)＝800X－39 000， 当X∈[130,150]时，T＝500×130＝65 000.

?800X?39000,100?X?130,所以T??

?65000,130?X?150.(2)由(1)知利润T不少于57 000元当且仅当120≤X≤150. 由直方图知需求量X∈[120,150]的频率为0.7，所以下一个销售季度内的利润T不少于57 000元的概率的估计值为0.7. (3)依题意可得T的分布列为 T 45 000 53 000 61 000 65 000 P 0.1 0.2 0.3 0.4 所以ET＝45 000×0.1＋53 000×0.2＋61 000×0.3＋65 000×0.4＝59 400. 20．

解：(1)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(x0，y0)， x12y12x22y22y?y则2?2=1，2?2=1，21=?1，

x2?x1ababb2?x2?x1?y?y由此可得2??21=1.

a?y2?y1?x2?x1y1因为x1＋x2＝2x0，y1＋y2＝2y0，0?，

x02所以a2＝2b2.

又由题意知，M的右焦点为(3，0)，故a2－b2＝3. 因此a2＝6，b2＝3.

x2y2所以M的方程为?=1.

63?x?y?3?0,?(2)由?x2y2

?1,??3?62013 全国新课标卷2理科数学 第12页

?43x?,???x?0,?3解得?或?

?y?3.?y??3,??3?46因此|AB|＝.

3由题意可设直线CD的方程为

?53?y＝x?n???n?3??3?，

??设C(x3，y3)，D(x4，y4)． ?y?x?n,?由?x2y2得3x2＋4nx＋2n2－6＝0.

?1??3?6?2n?2?9?n2?于是x3,4＝.

3因为直线CD的斜率为1，

4所以|CD|＝2|x4?x3|?9?n2. 31869?n2. 由已知，四边形ACBD的面积S?|CD|?|AB|?2986当n＝0时，S取得最大值，最大值为.

386所以四边形ACBD面积的最大值为.

321．

1解：(1)f′(x)＝ex?.

x?m由x＝0是f(x)的极值点得f′(0)＝0，所以m＝1.

于是f(x)＝ex－ln(x＋1)，定义域为(－1，＋∞)，f′(x)＝ex?函数f′(x)＝ex?1. x?11在(－1，＋∞)单调递增，且f′(0)＝0. x?1因此当x∈(－1,0)时，f′(x)＜0； 当x∈(0，＋∞)时，f′(x)＞0.

所以f(x)在(－1,0)单调递减，在(0，＋∞)单调递增．

(2)当m≤2，x∈(－m，＋∞)时，ln(x＋m)≤ln(x＋2)，故只需证明当m＝2时，f(x)＞0.

1当m＝2时，函数f′(x)＝ex?在(－2，＋∞)单调递增．

x?2又f′(－1)＜0，f′(0)＞0，

故f′(x)＝0在(－2，＋∞)有唯一实根x0，且x0∈(－1,0)． 当x∈(－2，x0)时，f′(x)＜0；

当x∈(x0，＋∞)时，f′(x)＞0，从而当x＝x0时，f(x)取得最小值．

2013 全国新课标卷2理科数学 第13页

由f′(x0)＝0得ex0＝

1，ln(x0＋2)＝－x0， x0?21?x0?1?2故f(x)≥f(x0)＝＋x0＝＞0.

x0?2x0?2综上，当m≤2时，f(x)＞0.

请考生在第22、23、24题中任选择一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，做答时请写清题号． 22．

解：(1)因为CD为△ABC外接圆的切线，

BCDC所以∠DCB＝∠A，由题设知， ?FAEA故△CDB∽△AEF，所以∠DBC＝∠EFA. 因为B，E，F，C四点共圆， 所以∠CFE＝∠DBC， 故∠EFA＝∠CFE＝90°.

所以∠CBA＝90°，因此CA是△ABC外接圆的直径．

(2)连结CE，因为∠CBE＝90°，所以过B，E，F，C四点的圆的直径为CE，由DB＝BE，有CE＝DC，又BC2＝DB·BA＝2DB2，所以CA2＝4DB2＋BC2＝6DB2.

而DC2＝DB·DA＝3DB2，故过B，E，F，C四点的圆的面积与△ABC外接圆面积的比值为23．

解：(1)依题意有P(2cos α，2sin α)，Q(2cos 2α，2sin 2α)， 因此M(cos α＋cos 2α，sin α＋sin 2α)．

?x?cos??cos2?,M的轨迹的参数方程为?(α为参数，0＜α＜2π)．

y?sin??sin2??(2)M点到坐标原点的距离

1. 2d?x2?y2?2?2cos?(0＜α＜2π)．

当α＝π时，d＝0，故M的轨迹过坐标原点． 24．

解：(1)由a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ca， 得a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca.

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由题设得(a＋b＋c)2＝1，即a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ca＝1.

1所以3(ab＋bc＋ca)≤1，即ab＋bc＋ca≤.

3a2b2c2(2)因为?b?2a，?c?2b，?a?2c，

bcaa2b2c2故???(a?b?c)≥2(a＋b＋c)， bca即a2b?b2c?c2a≥a＋b＋c. a2b2c2所以b?c?a≥1.

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