请考生在第22、23、24题中任选择一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，做答时请写清题号．
22．(2013课标全国Ⅱ，理22)(本小题满分10分)选修4—1：几何证明选讲
如图，CD为△ABC外接圆的切线，AB的延长线交直线CD于点D，E，F分别为弦AB与弦AC上的点，且BC·AE＝DC·AF，B，E，F，C四点共圆． (1)证明：CA是△ABC外接圆的直径；
(2)若DB＝BE＝EA，求过B，E，F，C四点的圆的面积与△ABC外接圆面积的比值．
23．(2013课标全国Ⅱ，理23)(本小题满分10分)选修4—4：坐标系与参数方程
?x?2cost,已知动点P，Q都在曲线C：?(t为参数)上，对应参数分别为t＝α与t＝2α(0＜
?y?2sintα＜2π)，M为PQ的中点． (1)求M的轨迹的参数方程；
(2)将M到坐标原点的距离d表示为α的函数，并判断M的轨迹是否过坐标原点．
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24．(2013课标全国Ⅱ，理24)(本小题满分10分)选修4—5：不等式选讲 设a，b，c均为正数，且a＋b＋c＝1，证明：
1(1)ab＋bc＋ac≤；
3a2b2c2(2)???1.
bca2013 全国新课标卷2理科数学 第7页
2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学理工农医类
(全国新课标卷II)
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．
答案：A
解析：解不等式(x－1)2＜4，得－1＜x＜3，即M＝{x|－1＜x＜3}．而N＝{－1,0,1,2,3}，所以M∩N＝{0,1,2}，故选A. 2．
答案：A
2i2i?1?i??2?2i?解析：z=＝＝－1＋i. 1?i?1?i??1?i?23． 答案：C
解析：设数列{an}的公比为q，若q＝1，则由a5＝9，得a1＝9，此时S3＝27，而a2＋10a1＝99，不满足题意，因此q≠1.
a1(1?q3)∵q≠1时，S3＝＝a1·q＋10a1，
1?q1?q3∴＝q＋10，整理得q2＝9. 1?q1∵a5＝a1·q4＝9，即81a1＝9，∴a1＝.
94．
答案：D
解析：因为m⊥α，l⊥m，lα，所以l∥α.同理可得l∥β.
又因为m，n为异面直线，所以α与β相交，且l平行于它们的交线．故选D. 5．
答案：D
rr22x(0≤r≤5，r∈Z)，则含x2的项为C5x＋解析：因为(1＋x)5的二项展开式的通项为C52
ax·C15x＝(10＋5a)x，所以10＋5a＝5，a＝－1.
6．
答案：B
解析：由程序框图知，当k＝1，S＝0，T＝1时，T＝1，S＝1；
11当k＝2时，T?，S=1+；
22111当k＝3时，T?，S?1+?；
2?322?31111?当k＝4时，T?，S?1+?；…；
2?3?422?32?3?41111当k＝10时，T?，S?1+??L?，k增加1变为11，满足k＞N，输
2?3?4?L?102!3!10!出S，所以B正确． 7．
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答案：A
解析：如图所示，该四面体在空间直角坐标系O－xyz的图像为下图：
则它在平面zOx上的投影即正视图为，故选A. 8．
答案：D
lg6lg2lg10lg2lg14lg2?1??1??1?解析：根据公式变形，a?，b?，c?，因为lg 7lg3lg3lg5lg5lg7lg7lg2lg2lg2??＞lg 5＞lg 3，所以，即c＜b＜a.故选lg7lg5lg3D. 9．
答案：B
?x?1,解析：由题意作出?所表示的区域如图阴影部分
x?y?3?所示，
作直线2x＋y＝1，因为直线2x＋y＝1与直线x＝1的交点
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坐标为(1，－1)，结合题意知直线y＝a(x－3)过点(1，－1)，代入得a?11，所以a?. 2210．
答案：C
解析：∵x0是f(x)的极小值点，则y＝f(x)的图像大致如下图所示，则在(－∞，x0)上不单调，故C不正确．
11． 答案：C
解析：设点M的坐标为(x0，y0)，由抛物线的定义，得|MF|＝x0
pp＋＝5，则x0＝5－. 22p??p??又点F的坐标为?,0?，所以以MF为直径的圆的方程为(x－x0)?x??＋(y－y0)y＝0.
2??2??y02将x＝0，y＝2代入得px0＋8－4y0＝0，即－4y0＋8＝0，所以y0＝4.
2p??由y02＝2px0，得16?2p?5??，解之得p＝2，或p＝8.
2??所以C的方程为y2＝4x或y2＝16x.故选C. 12． 答案：B
第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分，第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答。第22题～第24题为选考题，考生根据要求做答。 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分． 13．答案：2
解析：以AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴建立平面直角坐标系，如图所示，则点A的坐标为(0,0)，点B的坐标为(2,0)，
uuuruuur点D的坐标为(0,2)，点E的坐标为(1,2)，则AE＝(1,2)，BDuuuruuur＝(－2,2)，所以AE?BD?2.
14．答案：8
解析：从1,2，…，n中任取两个不同的数共有C2n种取法，两数
21241之和为5的有(1,4)，(2,3)2种，所以2?，即??，解得n＝8.
n?n?1?n?n?1?14Cn1421015．答案：?
5π?1?tan?111??，得tan θ＝?，即sin θ＝?cos θ. 解析：由tan?????4?1?tan?233?10将其代入sin2θ＋cos2θ＝1，得cos2??1.
93101010因为θ为第二象限角，所以cos θ＝?，sin θ＝，sin θ＋cos θ＝?.
10105
16．答案：－49
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2013年高考理科数学全国新课标卷2试题与答案word解析版
