3.2 平面向量基本定理
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一、选择题
→
1．如图所示，D是△ABC的边AB的中点，则向量CD＝( )
→1→
A．－BC＋BA
2→1→C．BC－BA
2
→1→B．－BC－BA
2→1→D．BC＋BA
2
→1→→→→→
解析：由三角形法则和D是△ABC的边AB的中点得，BD＝BA，∴CD＝CB＋BD＝－BC＋
21→
BA.故选A． 2
答案：A
→→→
2．在四边形ABCD中，AB＝a＋2b，BC＝－4a－b，CD＝－5a－3b，则四边形ABCD的形状是( )
A．长方形 C．菱形
B．平行四边形 D．梯形
→→→→→
解析：AD＝AB＋BC＋CD＝－8a－2b＝2BC，故为梯形． 答案：D
→→→
3．如图所示，点P在∠AOB的对角区域MON的阴影内，且满足OP＝xOA＋yOB，则实数对(x，y)可以是( )
1??1
A．?，－?
3??21??2
C．?－，－?
3??3
?11?B．?，?
?42??32?D．?－，? ?45?
解析：由图及平面向量基本定理知x<0，y<0. 答案：C
→→→→→
4．在△ABC中，AB＝c，AC＝b.若点D满足BD＝3DC，则AD＝( )
37A．－b＋c 4431C．b＋c 44
31
B．b－c 4413D．b＋c 44
3→3→→→→→
解析：AD＝AB＋BD＝c＋BC＝c＋(AC－AB)＝
44
c＋(b－c)＝b＋c.
答案：C
5．如果e1、e2是平面α内两个不共线的向量，那么在下列各命题中不正确的有( ) ①λe1＋μe2(λ、μ∈R)可以表示平面α内的所有向量；②对于平面α中的任一向量
3
43414
a，使a＝λe1＋μe2的实数λ、μ有无数多对；③若向量λ1e1＋μ1e2与λ2e1＋μ2e2共线，
则有且只有一个实数λ，使λ1e1＋μ1e2＝λ(λ2e1＋μ2e2)；④若实数λ、μ使λe1＋μe2＝0，则λ＝μ＝0.
A．①② C．③④
B．②③ D．②
解析：易知①④正确；对于②λ，μ应该是唯一的，所以②不正确；对于③，当λ1
＝λ2＝μ1＝μ2＝0时，λ的值有无穷多个，所以③不正确．
答案：B
→→
6.如图，在△ABC中，AB＝a，AC＝b，AP的中点为Q，BQ的中点为R，CR的中点为P，→
若AP＝ma＋nb，则 m＋n＝( )
1A． 26C． 7
2B． 3D．1
→→→→→→→1→→
解析：由题意可得AP＝2QP，QB＝2QR，因为AB＝a＝AQ＋QB＝AP＋2QR，①
2→
AC＝AP＋PC＝AP＋RP＝AP＋QP－QR＝AP＋AP－QR＝AP－QR＝b，②
→24
由①②解方程求得AP＝a＋b.
77→
再由AP＝ma＋nb可得
→→→→→→→→
1→→3→22
→
m＝，n＝，m＋n＝.
答案：C 二、填空题
7．已知e1，e2不共线，a＝e1＋2e2，b＝2e1＋λe2，要使a，b能作为平面内所有向量的一组基底，则实数λ的取值范围是________．
解析：使a、b为基底则使a、b不共线，∴λ－2×2≠0. ∴λ≠4. 答案：{λ|λ≠4}
8．设e1，e2是平面内一组基向量，且a＝e1＋2e2，b＝－e1＋e2，则向量e1＋e2可以表示为另一组基向量a，b的线性组合，即e1＋e2＝________.
解析：设e1＋e2＝ma＋nb(m，n∈R)，
∵a＝e1＋2e2，b＝－e1＋e2，∴e1＋e2＝m(e1＋2e2)＋n(－e1＋e2)＝(m－n)e1＋(2m＋n)e2.
??m－n＝1，
∵e1与e2不共线，∴?
?2m＋n＝1，?
2
74767
2121∴m＝，n＝－，∴e1＋e2＝a－b.
333321答案：a－b
33
→1→→→→
9．如图，在四边形ABCD中，DC＝AB，E为BC的中点，且AE＝xAB＋yAD，则3x－2y3＝________.
→→→→1→→1→→→
解析：由题意得AE＝AB＋BE＝AB＋BC＝AB＋(BA＋AD＋DC)
221→1→11→
＝AB＋AD＋·AB 2223
2→1→＝AB＋AD， 32→→→又AE＝xAB＋yAD， →→2→1→∴xAB＋yAD＝AB＋AD，
32→→
又∵AB与AD不共线， 21∴x＝，y＝，
32
21
∴3x－2y＝3×－2×＝2－1＝1.
32答案：1 三、解答题
→→
10．如图，在?ABCD中，M、N分别为DC、BC的中点，已知AM＝c，AN＝d，试用c、d→→表示AB和AD.
→→
解：设AB＝a，AD＝b，
则由M、N分别为DC、BC的中点可得 →→→
BN＝b，DM＝a.
AD＋DM＝AM，即b＋a＝c，① AB＋BN＝AN，即a＋b＝d.②
22
由①②可得a＝(2d－c)，b＝(2c－d)，
33→2→2
即AB＝(2d－c)，AD＝(2c－d)．
33
→11．如图，已知在△OAB中，点C是以点A为中心的点B的对称点，点D是将OB分成2∶
→→
1
2
→→
12
12
→
12
→→→→
1的一个内分点，DC和OA交于点E，设OA＝a，OB＝b.
→→
(1)用a和b表示向量OC、DC； →→
(2)若OE＝λOA，求实数λ的值．
→→→→→→→→
解：(1)∵OC＝OB＋BC＝OB＋2BA，BA＝OA－OB， →
∴OC＝2a－b， →
DC＝DB＋BC＝OB＋2BA
1→5→→→5→
＝OB＋2(OA－OB)＝2OA－OB＝2a－b. 333→→
(2)AB＝b－a，CB＝2(b－a)，
→→
1→3
→
→→
OC＝OB＋BC＝b＋2(a－b)＝2a－b， CE＝OE－OC＝λa－(2a－b)＝(λ－2)a＋b，
5→→→2
又CD＝OD－OC＝b－(2a－b)＝b－2a.
33→→→→
又CD、CE共线，存在唯一的实数m，使CE＝mCD.
→→
→→
?5?(λ－2)a＋b＝m?b－2a?. ?3?
?λ－2＝－2m，
由向量相等的定义，得?5
1＝m??34
∴λ＝. 5
→→→
12. 在△OAB中，AB上有一点P(P与A、B不重合)设OA＝a，OB＝b，OP＝xa ＋yb(x，y均为非零实数)．
→y→
证明：x＋y＝1且AP＝PB.
?
3m＝，??5??4
λ＝??5.
xλ→λλ→→→→→
证明：设AP＝λPB(λ＞0)，则AP＝AB＝·(OB－OA)＝·(b－a)，
λ＋1λ＋1λ＋1
2020学年高中数学第2章平面向量3从速度的倍数到数乘向量3.2平面向量基本定理练习北师大版必修4
