第六章 数列 6.2 等差数列及其前n项和试题 理 北师大版
1.等差数列的定义
从第2项起,每一项与前一项的差是同一个常数,我们称这样的数列为等差数列,称这个常数为等差数列的公差,通常用字母_d_表示. 2.等差数列的通项公式
若首项是a1,公差是d,则这个等差数列的通项公式是an=a1+(n-1)d. 3.等差中项
如果在a与b中间插入一个数A,使a,A,b成等差数列,那么A叫作a与b的等差中项. 4.等差数列的常用性质
(1)通项公式的推广:an=am+(n-m)d(n,m∈N+).
(2)若{an}为等差数列,且k+l=m+n(k,l,m,n∈N+),则ak+al=am+an. (3)若{an}是等差数列,公差为d,则{a2n}也是等差数列,公差为2d. (4)若{an},{bn}是等差数列,则{pan+qbn}也是等差数列.
(5)若{an}是等差数列,公差为d,则ak,ak+m,ak+2m,…(k,m∈N+)是公差为md的等差数列. (6)数列Sm,S2m-Sm,S3m-S2m,…(m∈N+)构成等差数列. 5.等差数列的前n项和公式
设等差数列{an}的公差为d,其前n项和Sn=6.等差数列的前n项和公式与函数的关系
na1+an2
或Sn=na1+nn-
2
d.
d?d?Sn=n2+?a1-?n.
2
?2?
数列{an}是等差数列?Sn=An+Bn(A,B为常数). 7.等差数列的前n项和的最值
在等差数列{an}中,a1>0,d<0,则Sn存在最大值;若a1<0,d>0,则Sn存在最小值. 【知识拓展】
等差数列的四种判断方法
(1)定义法:an+1-an=d(d是常数)?{an}是等差数列.
2
(2)等差中项法:2an+1=an+an+2 (n∈N+)?{an}是等差数列. (3)通项公式:an=pn+q(p,q为常数)?{an}是等差数列. (4)前n项和公式:Sn=An+Bn(A,B为常数)?{an}是等差数列. 【思考辨析】
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)若一个数列从第二项起每一项与它的前一项的差都是常数,则这个数列是等差数列.( × )
(2)等差数列{an}的单调性是由公差d决定的.( √ )
(3)等差数列的前n项和公式是常数项为0的二次函数.( × ) (4)已知等差数列{an}的通项公式an=3-2n,则它的公差为-2.( √ )
2
1.在等差数列{an}中,若a2=4,a4=2,则a6等于( ) A.-1 B.0 C.1 D.6 答案 B
解析 由等差数列的性质,得a6=2a4-a2=2×2-4=0,故选B.
2.(教材改编)设数列{an}是等差数列,其前n项和为Sn,若a6=2且S5=30,则S8等于( ) A.31 B.32 C.33 D.34 答案 B
??a1+5d=2,解析 由已知可得?
?5a1+10d=30,?
??
解得?4
d=-??3,
a1=,
26
3
8×7
∴S8=8a1+d=32.
2
3.(2016·全国乙卷)已知等差数列{an}前9项的和为27,a10=8,则a100等于( ) A.100 B.99 C.98 D.97 答案 C
解析 由等差数列性质,知S9=差d=
a1+a9
29×2a5==9a5=27,得a5=3,而a10=8,因此公
2
a10-a5
10-5
=1,
2
∴a100=a10+90d=98,故选C.
4.(2016·江西玉山一中模拟)已知数列{an}是等差数列,其前n项和为Sn,若a3+a4+a5=9,则S7等于( )
A.21 B.28 C.35 D.42 答案 A
解析 ∵a3+a4+a5=9,∴a4=3, ∴S7=7a4=21,故选A.
5.若等差数列{an}满足a7+a8+a9>0,a7+a10<0,则当n=________时,{an}的前n项和最大. 答案 8
解析 因为数列{an}是等差数列,且a7+a8+a9=3a8>0,所以a8>0.又a7+a10=a8+a9<0,所以a9<0.故当n=8时,其前n项和最大.
题型一 等差数列基本量的运算
例1 (1)在数列{an}中,若a1=-2,且对任意的n∈N+有2an+1=1+2an,则数列{an}前10项的和为( )
55A.2 B.10 C. D.
24
(2)(2016·北京)已知{an}为等差数列,Sn为其前n项和.若a1=6,a3+a5=0,则S6=________. 答案 (1)C (2)6
1
解析 (1)由2an+1=1+2an得an+1-an=,
21
所以数列{an}是首项为-2,公差为的等差数列,
2所以S10=10×(-2)+
-2
15×=. 22
(2)∵a3+a5=2a4=0,∴a4=0. 又a1=6,∴a4=a1+3d=0,∴d=-2. ∴S6=6×6+
-2
×(-2)=6.
思维升华 等差数列运算问题的通性通法
(1)等差数列运算问题的一般求法是设出首项a1和公差d,然后由通项公式或前n项和公式转
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