高考数学必背公式整理(衡水中学高中数学组)PDF

高考数学必背公式整理

(衡水中学高三数学学科组)

一、

集合

1. 元素a属于(不属于)集合A记为aWA(a任A). 2. AU(BnO = (AUB)n(AUC). 3.

AD(BUC) = (Ar|B)U(AnC). 4. 若 Vz￡A 有 zfB,贝U 有 AUB(或 BMA). 5.

若AUB, 且贝IJ有 6. ACB,BWAUA=B. 7. 空集是任何集合的子集,即0UA(A为任意集合)；空集是任意非空 集 合的真子集.

8. 含有n个元素的集合有2”个子集，有2\— 1个真子集，有2”一2个 非空真子集.

9. AC\\B={X\\XEA,且妊 B}. 10. AUB=S|^eA,或了￡B}.

11. Ai>A=A,A\\J0=A;AP\\A=A,Ar\\0=0. 12. AU B=AOBQA, A A B=A0AUB. 13. CuA = {z|z�U,且 *CA}. 14.

& (A。B) = (CuA) U (&B)；

Cu(AUB)=(CuA)n(Ct；B). 二、1. 数列的通项公式与前 数列 n项和的关系 _ fSi

(n=l),

\n — Sn-i (〃三 2). 2. 等差数列

(1) 定义:an+1-an=cZ(/7eN* M 为常数).

(2) 通项公式:七=。1 + (〃一 1)次.

(3) 等差中项..a,A,b成等差数列e2A=〃+A(或A=牛?). (4) 性质：m-\\~n=k + t=>a,n-\\~an=ak~\\~at (???,n,, ZG N* ). (5) 前 n 项和:S” = &\二\〃=H-- T?(72-l)d. 3.

等比数列 ⑴定义:芝=q(〃�N*沮为非零常数).

(2)

通项公式?a=aqn~xnx. (3) 等比中项：a,G,b成等比数列^G2=ab. (4) 性质:m-\\-n=k+l^aman=akai(m,n,k,l￡N*).

na\\ (q=l),

(5)前〃项和:S〃= Ml —q”)

1—g

4.常用求和公式

(1)X> =丞守2；

(2) ￡>2 (3)麗=[弓 三、基本初等函数 1.指数 (1) 根式

缶)” =aS�N*,且 〃>1);涉=(?, 1 \\a\\ (2) 分数指数幕

3为大于1的奇数), 3为大于0的偶数).

正分数指数赛:厂= Va7r(a>0,m,/?GN*，且〃>1)；

负分数指数幕:口一吁=*4r = g^(Q>0,m,〃�N*，且 7?>1).

(3)有理数指数藉的运算性质

如=『(Q>0,Q)；

厂，s￡Q)；

(部)「=次歹(。>0,。〉0,厂￡(5).

有理数指数藉的运算性质同样适用于无理数指数幕另(。〉0,

a是无理数).

2.对数

(1) 基本性质 ① 负数和零没有对数；

②log?a = l,log?l = 0(a>0,a#l). ,

(2) 常用对数log10N记为IgN；自然对数log,N冶为InN. (3) 运算性质

设 M>0,N>0,a>0,a^l,则有 ① log“ (M ? N) = log?M+log?N ；

② log” 导= logJW—log?N； ③logaMn = n\\ogaM (n G R)? (4) 公式

对数恒等式:a'^=N(N>0,a>0,且a尹1). 换底公式:log/ =髀

(a>0,且 a#l,c>0,且 c夭 1,。>0). 特别地:log?6 = jo^ (a>0, b>0,且 a夭1,0尹1).

四、三角函数

1.角度和弧度的换算 1°=佥rad=0. 017 45rad lrad=(半)°=57. 30°=57°18‘

2. 弧度制下扇形的弧长和面积公式 (1) 弧长公式：l= |a|r;

(2) 扇形面积公式：S=^Zr.

其中,/为孤长,r为圆的半径,a为圆心角的弧度数. 3. 同角三角函数的基本关系 平方关系:sin2a+cos2a = 1.

商数关系:tana=或 (罗如+于，蚯Z).

4.三角函数的诱导公式 sin(为? 360°+a) = sin? sin(—a) = — sin^

cos以? 360°+a) = cosa cos(—a) = cos? tan( —tan以? 360°+a) = tana a) = — tana sin(90°±Q)= cos? sin(180°+a) = =Fsina cos( 90°±a)=干 sin? cos( 180°士Q) = — tan( 90°±Q)=干 cota

cosa tan( 180°±a) = 士 五、三角恒等变换

tana

1.两角和与差的三角函数、倍角公式 (1)两角和与差的三角函数

sin(a 士 B)= sinacosR士 cosasin^ COS(Q±0) = cosacosR 干tan(a± siruzsin^ /?) =

tang士tang 1 + tanatan/?

(2)倍角公式

sin2a= 2sinacosa COS2Q= cos2?—sin2a= 2 cos2 a —1 = 1 — 2 sin2tan2a= a 2tarkz 1 — tan2 2.积化和差与和差化积公式a

(1) 积化和差公式 2simcos/?= sin(a+6)+sin(Q—0) 2cosasin/?= sin(c+R) — sin(a~/3) 2cos?cos0= COS(Q+0) + COS(Q—g) 2sino：sin^= cos(。一0) —cos(a+0)

(2) 和差化积公式

sina+sin/9=2sin 弓前cos 与留 sin?-si邱=2cos ^-^sin cosa+cos0=2cos ^-^cos cosa—cosg= —2sin ^-^sin 以 / 3. 半角公式

sin? aT=

丄 /I — cosa a 丄 /1 + cosa

土 COST=

士 _a_ __ I /1 — cosa_ 1 — cos。_ sing

tan 2 —

V 1 + cosa sina 1 + cosa 4. 辅助角公式

Qsin?+bcosa= J a? + 胪 sin(a+p)(沥尹 0)，其中夕满足 tan^)=—.

六、 解三角形

1. 正弦定理

念=金=丘=2R(R为即c外接圆的半径).

2. 余弦定理 a2=b2-\\-c2 — 2bccosA ； b2 = c2 +Q2 — 2cacosB ； c2=a2+62 — 2abcosC.2

n A _b2—-\\~c 2CQ— a2 2n_c ~\\~a2 ~b2 r_a2 -\\~b2 ~c2 ，cosC : cosA —— 2jU.b , 2成 1 COSLJ

3. 三角形面积公式

(1)S△海= -^》csinA=3_acsinB = -^~aZ)sinC(A,B,C 是△ABC 的 三

角a,b,c所对的边).

(2) SAABC = Vp(p—a)(.p—b')(p—c) (p=。+里*。)? (3) 5山=土发伝+》+/3为三角形内切圆半径).

七、 不等式

1. 不等式的性质

(1)Q>A<=>》VQ；

( 2) , b^>c=>a^>c ；

(3)a>b=>a+c>6+c； (4)Q+b>c=>a>c—6； (5)。>们 c>d=>a+c^>b~\\~d; ( 6) a^>b, c> 0=>ac^>bc;

(7)a>b>09c>d>0=>ac>bd； (8)a>b>0=>an>lf 3�N,疗2)； (9处>&>0。握

>爾(77eN,n^2).

2. 不等式及其解法

(1) 一元二次不等式及其解法

△=胪一4ac △〉0 △=0 △VO ax2 +M+c>0 (a>0){x 1 zVzi ,或 X^>T2 } 的解集 6 VZ2) 3蚌一阳 R Q]2+&+CV0 {X\\X\\0)的解集 Vz2) 0 ' 0 (2) —元高次不等式的解法 一元高次不等式(了一工1)(X — Z2)\?(Z —Z”)>0(<0)(其中工1 〈互〈…〈了”)可用穿根法求解. (3) 分式不等式的解法

^^>O(VO)0y(z)? gCz)>0(V0); g(z)2o(〈o)0 板妥.g(go?o). (4) 绝对值不等式的解法

①\

I /(z) | 5｛嵩旗或UMg, |

| >8(了)07\(工)>g(:t)或 /'(了) V—g(z).

③ | *) | > | g(z) 10Lf(z)]2>[g(z)E

④ 形如丨z—a I + I x~b I

3. 重要不等式

Waz+b2^2ab.其中a,6eR,当且仅当a=b时等号成立. (2)基本不等式:啰2 血.

其中a,b>0,当且仅当a = 3时等号成立.

~+~b

其中,a,b>0,当且仅当a=b时等号成立. (4) 4a6?a+6)2<2(a2+62).

其中,a,0� R,当且仅当a=b时等号成立. (5) a2 +62 +c2^-|- (a+\\其中,a/,c�R,当且仅当a=b=c时等号成立.

(6) | 土十个| 22,当且仅当丨a | = ” |时等号成立. 4. 利用基本不等式求最值 已知z,;y>0,则

(1)若x + y = s(和为定值)，则当x = y时，积xy取得最大值

(2)若xy=pC.积为定值)，则当x = y时,和x+y取得最小值2据

(x~\\~y^2 V~xy=2

八、立体几何

1 .空间几何体的侧面积公式 (1沁正棱柱侧=京

(3)S圆柱侧=2兀义 ⑷s圆锥侧=口， (5)S圆台侧=7T(厂+/)/ 2. 空间几何体的表面积公式 (1)S圆柱=2兀厂(7-+ Z) (3) S 圆台=K(r，2 H-r2 + // -prZ)

(2)S 圆锥= 7tz?(厂+Z) 3. 空间几何体的体积公式

(4)S球=4紀

⑴V柱体= S/i

(2)V(3) V 台体=*(S+ TS^+S^h

#

⑸卩圆锥=斗兀泓

(4) V圆柱=兀，h

(6)V 圆台=-^-7rA(r2+rr，+r，2)

(7)四=号紀

4. 平面的基本性质

公理 1：A�Z,B￡Z,且 A￡a,BeanLUa.

公理2：A,B,Cea,A,B,Ce/3,且A,B,C三点不共线》a与向重合. 公理 3：F￡a,且 PC井aPl/?=Z，且 FEZ. 5. 空间两直线平行的判定

⑴欢国〃。 ⑵出冒必

a. Q ] a//P ]

(3)aU0 ^=>a// b

(4)Qp|y=Q ^=>a//b a[}p=b\\ pC\\y=b)

6.空间两直线垂直的判定

⑴忠｝。山⑵检｝。

山

(3)三垂线定理及其逆定理

7. 空间两直线异面的判定方法 (1) 反证法；

(2) 平面外一点与平面内一点的连线,与平面内不过该点的直线是 异面

直线.

8. 直线与平面平行的判定

③ 两平行直线h :Az+By+G =0和12:Ar+By+Q =0间的田巨离:

标准方程:y = 2pj：Cp>0) 焦点：(号，0) 焦半径：|MF| =工。+号 准线方程:工=—号

2J a J a J c

d , |C2-Ct I

5.

VA+B '

22微积分基本定理 ]》(z)&=F(z) I ￡=F0)-F(a)(其中尸(了)=/(了)).

2. 圆与方程

(1) 圆与方程

① 圆的标准方程：(工一a)，+ (了一 A)。= / ,圆心为(a, 6),半径 为r.

② 圆的一般方程:x+y+Dx+Ey+F=0,其中 D+E-4F >0,圆心为(一号，一等),半径\土 JD2+￡2—4F.

z2十三、统计与概率

1. 统计

(1)方差与标准差

方差：$2=丄[(了1 —T')2 + (.X2—X')2-\\ (了,一Z)2]

n

标准差：5 = /)y —[(J71 —立)2 + (了2—立)2+ ??? + (%—

(DfeCa \\^a//a (2)。约〃仪

a//b\\ KJ 9. 直线与平面平行的性质 a//p QUQ 10. 平

面与平面平行的判定

4. 直线截圆锥曲线的弦长

设弦AB的端点坐标为A3価),B6必),直线AB的斜率为加则 | AB | = 22

J(1+财)[(了1 +J；2)2—耳⑥互].

(2) 直线与圆的位置关系

设直线 l：Ax+By+C=0,圆 C： G—a)2 + 3-3)2 =己圆心到 直线的距离为d,则舟

H、平面向量

1. 向量的概念

(1) 向量的基本要素:大小、方向. (2) 向量的表示

字母表示:症,a.

坐标表示：G=(e ,丁1)?

(3) 向量的模：向量的模即向量的大小，记作|a|.

若。=(心5)，则丨。丨=V^T+^T-

z)2] 其中辰=斗6+戏+...+師).

(2)离散型随机变量的均值(或数字期望)与方差

①

离散型随机变量的均值：

E(X)=zi />i +血力2 +…+壬化 +…+止。”. 性质:ESX+b) =aE(X) +b(a,b 是常数)； 若X服从两点分布，则E(X)f 若X服从二项分布,即X?B(n,p)，则E(X) =np.

② 离散型随机变量的方差:D(X)= ￡ 3-E(X))0. 性质:D(aX+6)=/D(X)(a,。是常'数)；

若X服从两点分布，则D(X)=p(l-p)；

若X服从二项分布，则X?B(S),则D(X)=”(1 — P).

I叮欧+直：

A/A2+B2

aU8，bUB]

⑴\〃 *⑵囂} 2⑶ 哥*5 a//a,b//a) 11. 平面与平面平行的性质 Q〃 B }

a^7=a >=^a//b 卽I V=b)

12. 直线与平面垂直的判定

oUa/U。

〃

(i) m=A l_La,l_Lb

13. 直线与平面垂

直的性质

■l±a (2 舟

a丄a =>b_\\_a

次〉B直线与圆相离； d=g直线与圆相切； dVr(习直线与圆相交. (3) 过圆上一点的切线方程

① 与圆j；2 + j/2 = r2相切于点(io，Ko)的切线方程：尤0辺+贝丁 = r2.

22② 与圆(X—a)2 + (y — b') = r相切于点(z。，3/0)的切线方程： (z()—Q)(Z—。)+ (弘一6) (、一6) =，. (4) 圆与圆的位置关系

设两圆 C]:(X—<21 )2 + (j/—Z?i )=rj ,C2: (j：~a2) + Cy~b2 ) 222(4) 特殊的向量：

① 零向量:a=0O | a I =0.

② 单位向量:G为单位向量<=> | a I =1. ③ 相等向量:长度相等且方向相同的向量.

设。=(了1 ,少)，b= (x2 ,了2)，则。=扶习工1 =^2 ,少=y2. 2. 向量的运算

(1) 向量的加减法

⑴(2)：艺昌仍

14. 平面与平面垂直的判定

(1) 結;}=>戶丄a 15. 平面与平面垂直的性质

⑴ABSABJLCD仲仙丄0

(2)-面角的平面角0=90°

气丄所平阡aUa

= ,圆心距d= J(勿―。1)2 + (缶一缶)2，则

I d I >八+厂2<=>两圆相离； I d I =厂1+厂2匸>两圆外切；

I n—r2 I V I d I 两圆相交； I d I = I rx—r2 I 0两圆内切； I d I V I厂1一a I 0两圆内含.

直线被圆所截弦的问题 设直线与圆相交于两点A3 ) ,BCZ2必)，则弦AB的长： ① | AB | = \\/1+/ | oc\\ ―i2 I =

J(1+&2)[(Z1+血)2—4X1互]以为直线AB的斜 率).

② I AB丨=2 为弦心距，厂为圆的半径). 3. 空间直角坐标系

(1) 空间两点间的距离公式

① 空间中的任意一点P(x9yfZ)与原点的距离：

九、直线、圆与方程

1. 直线与方程 (1) 直线方程

① 点斜式以一)0=奴X—1o)； ② 斜截式：y=kj：-\\-b; ③ 两点式：：-_以=

3^2 3,1 了2 幻

X

(5)

几何运算:三角形法则或平行四边形法则. 坐标运算:设a=(乃5 )，力=(了2 ,)2),则 a+b= (xi ±x2 ,yi ±，2)? (2) 实数与向量的积

定义:Aa是一个向量，满足A>0时,;la与a同向以V0时,Aa与a 反向以=0 时以a=0. | Aa | = | A | I a | . 坐标运算：祯=义6 5)=(廊1 ,义少). (3) 向量的数量积

定义:。? b= | a | I b I co迅其中。是。与b的夹角 坐标运算：G?b=xljc2+yiy2- 3. 重要公式

⑴平面向量基本定理：口=入1。1+入2。2，。1，。2不共线. (2) 距离公式:设A(Z1 5 ) ,B(Z2以2),则殖=6 —以2 —少)，

I 窟 | =』(互―11)? +(丁2一少)2.

(3) 非零向量平行的充要条件:a//b<^a=Xb^j31y2—x2yi=0. (4) 非零向量垂直的充要条件:a_\\_b^>a ? &J72+^I3,2 = 0.

2. 概率

(1) 概率的加法公式

如果事件A与事件B互斥，则F(AUB)=P(A)+P(B). 若事件A与事件B为对立事件，则P(A) = 1—P(B). (2) 古典概型的概率公式

事件A包含的基本事件数一 m 基本事件总数 V-

(3) 几何概型的概率公式

p以、一 构成事件A的区域长度(面积或体积)

5, 一试验的全部结果所构成的区域长度(面积或体积). (4) 条件概率

设A, B为两个事件，则A发生的条件下B发生的概率：

F(B丨A)=罕當.其中F(A)>0. 如果B和C是两个互斥事件，则 P(BUC| A)=P(B\\A)+F(CI A).

(5) P(A1A2A3-A?)=P(A1)P(A2)-P(A?).其中事件 Ai ,&,???, A”相互独

立.

特别地，如果事件A与事件B相互独立,则有 F(AB)=P(A)P(B). (6) ①两点分布(0—1 分布)：P(X=0) = l一？；P(X=l)=/>. ②

超几何分布：P(X=Q= 臨4。=0,1,2,“?,他).

其中 m=min{M9n}，且 nWN,MWN,m,M,N￡N*.

③ 二项分布：P(X=&)=U\(1—》)I,&=0,1,2,???，〃.

(xi尹血,y\\尹丁2);

④ 截距式:―+-^=1;

a b

⑤ 一般式:Az+By+C=0(A,B不同时为0). (2)

直线的斜率公式

经过两点Pi 3 ,功)，P2 (互见)3尹了2)的直线的斜率公式:k \\OP\\ = /x2+y+z2.

② 距离：

空间中任意两点P1 6，丁1，为)，「2 (血，丁2，切)间的

(5) 夹角公式:cos<9=

I P1 尸2 I = J(%1一了2)2 + (少—必)2 + 01—±)2 . (2) 空间线段的中点坐标

在空间直角坐标系中，若A3以1 9 Zl) 9 B(x29 y29 Z2) 9则线段

十二、导数及其应用

(2)(]”)'=心”T(〃￡Q,且〃尹0)

(4) (cosx)' = — sinz

(6) (ax)，=aJlna(a>0,且 Q尹 1) L几种常见函数的导数

(l)c' = 0(c 为常数) (7) (1按=手(工>0) (8)(108\佥(3)(sirLz)，= cosj： (》0,<1>0,且 g) (5)(打=e， 2. 导数运算法则 (1) (2)

E/(x)±g(x)T=ff (x) ±gz (x)；

E/a)- g&)了 = /Cr)gCz)+rCz)g'Cr)；

十四、常用逻辑用语

P 真 真 假 假 q 真 假 真 假 PN q 真 假 假 假 真 真 真 假 =41(1\). 血―zi (3)

两条直线的位置关系 ① ②

AB的中点坐标是：(十,*，亨)?

假 假 真 真 11(丁=名尤+缶)与l2(y=k2x-\\-b2>)平行:k}=k2且缶夭勿；

Z1 (丁 =加^ +缶)与/23 =人2辺+ 62)垂直：41为2 = — 1；

A

③ Zi (Aiz+Bix+G =0)与 l2 (A2Z+B23/+C2 = 0)平行:=

十、圆锥曲线与方程

1. 椭圆的标准方程及几何性质

标准方程:斧+$ = 1(a>3>0)或 g= 1(a>&>0) 焦点：(士c,0)或(0, 士c)

离心率:e= —(0

a

(A2B2C2 铲 0);

④ Z] (Ai JT+BIJZ+CI =0)与 Z2 (A2J7+B23/+C2=0)垂直:A1A2 + B】

⑶[醫]'=0借砰

3. 复合函数的导数

若函数\在X处可导,义=/(“)在U处可导，则复合函数y= /Eg(z)]在 z 处可导，且 yx=y? ? ux. 4. 定积分的基本性质

(1) (好&)&=&『/&)&(￡为常数)； (2) (3)

f L/i (x)±/2(^)]dz= f fi (x)dz+ f，2(x)&； J a J a J a [ f (j?)dr= f /*(])&+ f /(j?)dz(其中 QVc

B2=O. (4)

距离公式

两点P](Z1 ,'1),「2(12，丁2)间的距离：

I PiP21 = 11)2+(%一少)\\ 特别地，原点 0(0,0)与 任意一点PG,少的距离\\OP\\ = ② 点P6，V。)到直线Az+Bj；+C=o的距离：

22VA+B 次=I ATO+BJ/O+C| ①

2. 双曲线的标准方程及几何性质

- 2 2 2 2

标准方程:?一节' = l(a,b>0)或千一, = l(a,》>0) 焦点：(士c,0)或(0, 士c)

渐近线:尸或y = +-yx

离心率：e= —(e>l,c2=a2+&2)

a

3. 抛物线的标准方程及几何性质