因式分解应用例析
一、用于计算 例1 计算(1?11111)(1?)(1?)??(1?)(1?). 22222234910 【分析】若按常规思路从左到右逐个运算，比较麻烦；设法进行简便运算.观察整个算式,不难看出每
一个因式都是两数的平方差,于是可以将每个因式分解,得以求解.个人收集整理 勿做商业用途 解: (1?
11111)(1?)(1?)??(1?)(1?) 223242921021111111111=(1?)(1?)(1?)(1?)(1?)(1?)??(1?)(1?)(1?)(1?)
223344991010314253108119=?????????? 223344991010345101112389=(?????)(?????) 23491023491011111=?. ?21020 【点评】本题如果按照常规思路来解,比较困难,通过分析认真分析式子的结构、发散思维，运用所学知识，利用因式分解，使问题得以简捷解决.个人收集整理 勿做商业用途 例2 计算
910.
9 【分析】 仔细观察算式发现：最后两项?2?2可分解因式，提公因式2后得2，再依次和前一项进行类似计算. 解：
=2?2?2?2?2?2?2?2?(22345678234567810
?29)
=2?2?2?2?2?2?2?2?2(2?1)
=2?2?2?2?2?2?2?2?2 ＝……=6.
【点评】本题逆向思考，从最高的两项进行因式分解，逐次提取公因式，达到消项的目的. 例3 阅读下面的解题过程，然后回答问题：
234567899 （1）分解因式：(x?1)(x?2)(x?3)(x?4)?8. 解：原式=(x?1)(x?4)(x?2)(x?3)?8 =(x?5x?4)(x?5x?6)?8.
设(x?5x?4)?m，则原式=m(m?2)?8?m?2m?8?(m?2)(m?4). （2）计算：1234567?1234566?1234568
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解：设1234567=x，则原式=x?(x?1)(x?1)?x?(x?1)?1. 利用（1）、（2）的解法计算：2003?2004?2005?2006?1?2004.
【分析】本题是属于阅读理解的题目，可仿照（1）、（2）用换元法，使问题变得简单些. 解:设2004=a,a?a?m,
则2003?2004?2005?2006?1?2004=(a?1)a(a?1)(a?2)?1?a2 =(a2?a)(a2?a?2)?1?a2=(a2?a)2?2(a2?a)?1?a2 =m2?2m?1?a2=(m?1)2?a2=m?1?a =a?a?1?a?a?1?2004?1?2003.
【点评】解决阅读理解这类题目的要点：要认真仔细阅读题目中的语言文字信息、观察式子的特点，找出内在联系，写出求解过程.本题运用字母代数的特点，将被开方数转化为完全平方数，体现特殊与一般的思想方法.个人收集整理 勿做商业用途 二、用于求值
22 例4 已知实数a、b满足a(a?1)?(a?2b)?1,求a?4ab?4b?2a?4b的值.
2222222222 【分析】本题对已知条件进行化简，并将a?4ab?4b?2a?4b分解因式，代入求值.
22 解：∵a(a?1)?(a?2b)?1，∴a?a?a?2b?1，即：a?2b?1. 22 ∴a?4ab?4b?2a?4b=(a?2b)?2(a?2b)?1?2??1.
23222222 例5 已知x?x?1?0,求x?2x?3的值.
【分析】本题要充分利用“x?x?1?0”这个条件,经过变式来求值.这里可将2x拆成两项,变为
22(x2?x2),再添加(x?x).
解:∵x?x?1?0，
∴x?2x?3?(x?x?x)?(x?x?3)?x(x?x?1)?(x?x?1?4)=4.
【点评】将多项式变形或拆项，整体运用已知条件，体现“整体”与“分解”思想的有机统一.
111222 例6 已知a=x+20，b=x+19，c=x+21，那么代数式a?b?c?ab?bc?ac的值
202020是 （ ） A.4 B.3 C.2 D.1
【分析】因本题所求代数式中含有a、b、c的平方项与二次乘积项与完全平方展开式所含的项基本相同，所以应想办法，如何造型利用公式法分解因式进行化简.个人收集整理 勿做商业用途 解：原式=
323222221?a?b?2??b?c?2??a?c?2? 22 / 5
? 当a=
111x+20，b=x+19，c=x+21时，有：a－b=1，b－c=－2，a－c=－1， 202020 ∴原式=
121221???2????1???1?4?1??3.故应选B. 22?? 【点评】本题通过配成完全平方式，将条件代入，整体消元，方便简洁.
三、用于判断数的整除性
例7 已知248?1可以被在60到70之间的两个数整除,则它们是 （ ） A．61、63 B．61、65 C．63、65 D．63、67
【分析】由248?1联想到运用平方差公式进行因式分解，从而做出判断. 因为248?1=(2 =(22424?1)(224?1)?(224?1)(212?1)(212?1)=(224?1)(212?1)(26?1)(26?1)
?1)(212?1)(26?1)(23?1)(23?1), 而 (26?1)?65,(23?1)(23?1)=9×7=63,所以选择C.
【点评】利用因式分解判断数的整除性，大大的简化运算量.从而体现公式方便快捷. 例8 已知a、b是正整数，且a?b?45，那么数对（a，b）为____________. 【解析】将a?b?45变形分解，a2-b2=45 分解得 (a+b)(a-b)=1×45=5×9=3×15 构造方程组，解得(23,22),(9,6),(7,2). 四·证明不等分式
例9 设a、b、c是三角形的三边长,求证:a?b?c?2bc?0.
【分析】本题是证明一个不等问题,想办法利用三角形三边的关系以及因式分解来证明. 证明:∵a?b?c?2bc?a?(b?c)=(a?b?c)(a?b?c), 又∵a、b、c是三角形的三边长, ∴a?b?c?0,a?b?c， 即(a?b?c)(a?b?c)?0， ∴a?b?c?2bc?0.
【点评】本题借助因式分解，将左边的多项式分解成一次因式的积，再根据三角形的三边的关系进行判断因式的符号.个人收集整理 勿做商业用途 五、用于判断三角形的形状
222a?b?c?ab?bc?ac?0,试判断△ABC的形a、b、c 例10 已知是三角形的三边长,且满足
222222222222222状,并说明理由.
【解析】∵a?b?c?ab?bc?ac?0,∴2a?2b?2c?2ab?2bc?2ac?0, 即：(a?b)?(b?c)?(c?a)?0， ∴ a?b?0,b?c?0,c?a?0，∴a?b?c.
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222222222 又a、b、c是三角形的三边长,∴△ABC是等边三角形. 六、用于实际应用
例11 在半径为R的圆形钢板上，冲去4个半径为r小圆，如图所示， 利用因式分解计算，当R=85cm，r=15cm时剩余部分的面积（结果用?表示）.
【分析】 剩余部分的面积可以看成是大圆的面积减去4个小圆的面积，在运算过程中，利用因式分解有时可以使运算简化.个人收集整理 勿做商业用途 22?(R2?4r2)??(R?2r)(R?2r)?? 解：剩余部分的面积为:R-4r= 2cm). ?(85?2?7.5)(85?2?7.5)??100?70?7000? ==(
【点评】本题巧妙的运用因式分解，避免了半径的平方运算，减小了运算量，使计算变得简便,迅速. 例12 如图所示,把R1,R2,R3三个电阻串联起来,线路AB上的电流为I,电压为V,则
V?IR1?IR2?IR3,当R1=34.9,R2=20.8,R3=32.3,I=2.5时,求V的值.个人收集整理 勿做商业用途 【研析】将因式分解的知识运用到物理学的运算当中,可减少运算量,使运算简化. 解：当R1=34.9,R2=20.8,R3=32.3,I=2.5时,
V?IR1?IR2?IR3=I(R1?R2?R3)=2.5(34.9+20.8+32.3)=220.
【点评】根据物理学的知识，串联线路电压等于各部分电压之和，构造数学模型，
运用因式分解中的提取公因式，使运算得以简化.
例13 校园内有一个环形花坛，它的外圆半径R=7.5米,内圆半径r=2.5米,请问:该花坛的占地面积是多少?(?取3.14)个人收集整理 勿做商业用途 【分析】由于花坛是环形的,所以花坛的占地面积是外圆的面积减去内圆的面积.
22 解:S环?S外圆?S内圆??R??r??(R?r)=?(R?r)(R?r)
222 =?(7.5+2.5)(7.5-2.5)= ?×50≈155(米).
2 答:该花坛的占地面积约是155米. 小试牛刀
1、如果(a?b)?(a?b)?4，则一定成立的是 （ ） （A）a是b的相反数 （B）a是?b的相反数 （C）a是b的倒数 （D）a是?b的倒数
2、填空: 已知x?y?6,xy?4,则xy?xy的值为_________. 3、求证:N=11?????1?22???2是一个完全平方数
2n个1n个222222 4、小学生李亮和他的妹妹李娇的年龄分别是x岁和y岁，且x?xy=117，请问：学生李亮和他的妹妹李娇的年龄分别是多少岁？个人收集整理 勿做商业用途 1、 解：∵ (a?b)?(a?b)?4，∴(a?b?a?b)(a?b?a?b)?4， 即:2a?2b?4，∴a?b?1.
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22 故选择C.
2、解:∵x?y?6,xy?4,∴xy?xy?xy(x?y)?4?6?24. 3、.证明:N=??(99?9)???(99?9)?(10????????9?9??9?n个92n个922?1??2?12n11?1)?(10n?1)?(102n?2?10n?1)
99 =
?10?1?1n?(10?1)2???3)， ???(33???93??n个32n2 ∴N是一个完全平方数.
4、解 9岁、4岁；提示：∵x?xy=x(x?y)=117，而117=3×39=9×13=117×1，又因为李亮和他的妹妹李娇都是小学生，所以x?9,x?y?13,即y?4.个人收集整理 勿做商业用途
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因式分解应用例析
