第一章:集合讲义（知识点+例题精讲）
1 聚焦“集合”双基
一、“集合”基础知识 (一)集合的含义
1．集合的含义是一个描述性的，我们可以理解为一些对象组成的总体就构成集合，其中构成集合的每一个对象称为集合的元素．所以只要把对象看成整体就可以构成集合． 2．集合的元素的三个特性
(1)确定性：对于一个集合中每一个元素都可以判断该元素是不是集合中的元素．如“2017年中国效益较好的大型企业”就不能构成集合，因为“2017年中国效益较好的大型企业”中的对象是不确定的，效益较好和大型企业都没有明确的标准，无法判断一些企业是否属于这个范围．
(2)互异性：互异性是指集合中的元素必须是互不相同的．如集合{x|x2＋4x＋4＝0}＝{－2}，而不能写成{－2，－2}．
(3)无序性：对于一个集合中的元素无先后顺序，只要构成两个集合的元素一样，这两个集合就是相等的． (二)集合的表示
1．列举法：列举法是将集合中的元素一一列举出来，并用花括号“{ }”括起来表示集合．用列举法表示集合时，首先要注意集合中元素的基本形式．例如：集合{1,2}与{(1,2)}是两个完全不同的集合，{1,2}是由1,2这两个元素所构成的集合，{(1,2)}是以一个实数对(1,2)为元素构成的集合．另外，用列举法表示由许多元素或无限个元素组成的集合时，要注意充分体现元素间的规律，在花括号内列举出部分元素，其余的元素用省略号表示．例如：所有正整数构成的集合可记为{1,2,3,4，…，n，…}．
2．描述法：它是指用集合所含元素的共同特征来表示集合的方法．具体可这样表示：在花括号“{ }”内先写上表示这个集合元素(代表元素)的一般符号及取值范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征．它的一般表示形式为{x∈A|p(x)}，竖线前的x就是代表元素．对于描述法中的代表元素应注意以下两点：
(1)应写清楚该集合中的代表元素．如集合{x|2≤x≤4}不能写成{2≤x≤4}，因为这样少了代表元素．
(2)竖线后边应对代表元素的取值有准确的表示，比如下面的表示方法是错误的：{(x，y)|(－1,0)}，事实上，它应表示为{(x，y)|x＝－1，y＝0}，或表示为{(－1,0)}． (三)集合间的基本关系
1．空集是不含任何元素的集合，它虽然不含任何元素，但这样的集合是客观存在的．由于空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，所以在研究集合问题时，空集还是很活跃的，一不小心就会出错．如满足B?A，就要分B＝?和B≠?进行研究．
2．子集可以理解为集合A中的任何一个元素都是集合B的元素，则A是B的子集．比如任何一个整数都是有理数，也就是说整数集是有理数集的子集，可以表示为：Z?Q.但不要理解为A是B中部分元素组成的集合，因为A＝?时，A也是B的子集，还有A＝B时，A也是B的子集．
3．真子集可以从两方面理解：一是集合A是集合B的子集，二是集合B中至少有一个元素不属于集合A.如A＝{1,2,3,4,5}，B＝{1,2,3,4,5,6}，由于6∈B，但6?A，且有A?B，则集合A是集合B的真子集．
4．若两个集合互相包含，即A?B，且A?B，则称集合A与集合B相等，记作A＝B. (四)集合的基本运算
1．并集：由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合，称为A与B的并集，记作A∪B. 符号表示：A∪B＝{x|x∈A或x∈B}． 相关结论：A∪A＝A，A∪?＝A，A∪B＝B∪A.
A∪B中的元素就是把集合A，B中所有元素并在一起构成的集合，要注意集合间元素的互异性，对于既属于集合A又属于集合B的元素只能出现一次．
2．交集：由所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合，称为A与B的交集，记作A∩B. 符号表示：A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}． 相关结论：A∩A＝A，A∩?＝?，A∩B＝B∩A.
A∩B中的任何元素都是集合A和B的公共元素，当集合A，B没有公共元素时，不能说集合A，B没有交集，而是A∩B＝?.
3．补集：由全集U中不属于A的所有元素组成的集合，称为A在U中的补集，表示为?UA，实际上?UA＝{x|x∈U，且x?A}．补集的概念是在全集中定义的，是由属于全集U但不属于集合A的所有元素构成，集合A和它的补集?UA都是集合U的子集，且A∩(?UA)＝?，A∪(?UA)＝U，全集不同，则集合A的补集也不同． 二、盘点解集合问题的基本方法 (一)列举法
对于一些有明显特征的集合，可以将集合中的元素一一列举出来． 例1 设集合M＝{1,2,4,8}，N＝{x|x是2的倍数}，则M∩N等于( ) A．{2,4} B．{1,2,4} C．{2,4,8} D．{1,2,8}
解析 因为N＝{x|x是2的倍数}＝{…，0,2,4,6,8，…}，所以M∩N＝{2,4,8}．故选C. 答案 C
评注 对于元素易于列举的集合，通常是直接列举． (二)结构相似法
对于用描述法给出的若干集合，判断它们的关系时，可以把它们各自的属性化为结构相似的表达式．
?????????1n1p1??????，x＝m＋，m∈Zx＝－，n∈Zx＝＋，p∈Z例2 若集合A＝x?，B＝x?23，C＝x?266??????
则A，B，C之间的关系是( ) A．A＝B＝C C．ABC
B．AB＝C D．BCA
3?n－1?16m13p
解析 集合A中，x＝＋，m∈Z；集合B中，x＝＋，n∈Z；集合C中，x＝＋
666661
，p∈Z.不难判断AB＝C. 6答案 B (三)数轴法
当集合中的元素与不等式相关时，借助于数轴进行运算具有简明的直观效果．
例3 设集合A＝{x|－1＜x－a＜1，x∈R}，B＝{x|1＜x＜5，x∈R}，若A∩B＝?，则实数a的取值范围是( ) A．0≤a≤6 C．a≤0或a≥6
B．a≤2或a≥4 D．2≤a≤4
解析 由－1＜x－a＜1，得a－1＜x＜a＋1. ∵a＋1>a－1，∴A≠?.
如图，可知a＋1≤1或a－1≥5.所以a≤0或a≥6.
答案 C
评注 不等式型集合的交集、并集和补集通常可以借助数轴来解，解题时注意验证区间端点是否符合题意． (四)Venn图法
借助Venn图的直观显示，常可使集合问题化难为易．
例4 已知A，B均为集合U＝{1,3,5,7,9}的子集，且A∩B＝{3}，(?UB)∩A＝{9}，则A等于( ) A．{1,3} C．{3,5,9}
B．{3,7,9} D．{3,9}
高中数学必修1集合讲义(知识点+例题)
