?x=acost(0≤t≤2π)在何处曲率最大?例3.求椭圆??y=bsint解:x??=?asint;y??=bcost;故曲率为x????=?acosty????=?bsintx??表示对参数t的导数K=xyx???????????y??(x??+y??)2232=ab (asint+bcost)2
2
2
222232K最大求驻点: 2f(t)=asint+bcost最小222
f′(t)=2asintcost?2bcostsint=(a?b)sin2t机动目录上页下页返回结束f′(t)=(a?b)sin2t3π令f′(t)=0,得t=0,,π,,2π22计算驻点处的函数值:22πtf(t)0π2π23π22πb2ab2a2b2设0 设M为曲线C上任一点在,点M处作曲线的切线和法线在曲线,yD(α,β)TC的凹向一侧法线上取点D使M(x,y)1oxDM=R=K 把以D 为中心, R为半径的圆叫做曲线在点M处的R曲率圆( 密切圆) ,R叫做曲率半径,D叫做曲率中心.在点M处曲率圆与曲线有下列密切关系:(1) 有公切线;(2) 凹向一致;(3) 曲率相同.机动目录上页下页返回结束设曲线方程为y=f(x),且y′′≠0,求曲线上点M处的曲率半径及曲率中心D(α,β)的坐标公式.设点M处的曲率圆方程为222(ξ?α)+(η?β)=R故曲率半径公式为yD(α,β)RM(x,y)x 1(1+y′ )2 R== Ky′′ 2 3 TCoα,β满足方程组222(x?α)+(y?β)=R(M(x,y)在曲率圆上)??y′=?x?α(DM⊥MT)?y?β机动目录上页下页返回结束由此可得曲率中心公式yCoD(α,β)y′(1+y′) α=x? y′′21+y′ β=y+ y′′ 2 RTM(x,y)(注意y?β与y′′异号)x当点M (x, y) 沿曲线y=f(x)移动时,相应的曲率中心的轨迹G称为曲线C 的渐屈线,曲线C 称为曲线G的渐伸线.曲率中心公式可看成渐屈线的参数方程(参数为x).点击图中任意点动画开始或暂停 机动目录上页下页返回结束
曲率半径 - 图文
