POPO??,O????推理模式：PA??A??a?PAa??,a?OA??A?a
概括为：垂直于射影就垂直于斜线.
⑵三垂线定理的逆定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线的射影垂直 PO??,O????推理模式：PA??A??a?AO
a??,a?AP??概括为：垂直于斜线就垂直于射影.
7、三余弦定理 设AC是平面?内的任一条直线，AD是?的一条斜线AB在?内的射影，且BD⊥AD，垂足为D.设AB与? (AD)所成的角为?1， AD与AC所成的角为?2， AB与AC所成的角为?．则cos??cos?1cos?2.
BA??1?2?DC
8、 面积射影定理 已知平面?内一个多边形的面积为SS原，它在平面?内的射影图形的面积为S?S射，平面?与平面?所成的二面角的大小为锐二面角?，则
????S'S射 cos??=.
SS原9、一个结论 长度为l的线段在三条两两互相垂直的直线上的射影长分别为l1、l2、l3，夹角分别为?1、?2、?3,则有
l2?l12?l22?l32?cos2?1?cos2?2?cos2?3?1 ?sin2?1?sin2?2?sin2?3?2.
（立体几何中长方体对角线长的公式是其特例）.
第三章 三角恒等变换
24、两角和与差的正弦、余弦和正切公式：
⑴cos??????cos?cos??sin?sin?；⑵cos??????cos?cos??sin?sin?； ⑶sin??????sin?cos??cos?sin?；⑷sin??????sin?cos??cos?sin?；
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⑸tan??????tan??tan? ? （tan??tan??tan??????1?tan?tan??）；
1?tan?tan?tan??tan? ? （tan??tan??tan??????1?tan?tan??）．
1?tan?tan?⑹tan??????25、二倍角的正弦、余弦和正切公式：
⑴sin2??2sin?cos?．?1?sin2??sin2??cos2??2sin?cos??(sin??cos?)2 ⑵cos2??cos2??sin2??2cos2??1?1?2sin2?
?,1?cos??2sin2?升幂公式1?cos??2cos2?22cos2??11?cos2?2，sin??． ?降幂公式cos2??2226、
万能公式:αα2tan1?tan22;cosα? 2sinα? αα1?tan21?tan2222tan? tan2??．
1?tan2?27、
半角公式:
α1?cosαα1?cosαcos??;sin??
2222
α1?cosαsinα1?cosαtan????
21?cosα1?cosαsinα
?（后两个不用判断符号，更加好用）
28、合一变形?把两个三角函数的和或差化为“一个三角函数，一个角，一次方”的 y?Asin(?x??)?B形式。?sin???cos???2??2sin?????，其中tan???． ?29、三角变换是运算化简的过程中运用较多的变换，提高三角变换能力，要学会创设条件，灵活运用三角公式，掌握运算，化简的方法和技能．常用的数学思想方法技巧如下：
（1）角的变换：在三角化简，求值，证明中，表达式中往往出现较多的相异角，可根据角与角之间的和差，倍半，互补，互余的关系，运用角的变换，沟通条件与结论中角的差异，使问题获解，对角的变形如：
①2?是?的二倍；4?是2?的二倍；?是
???的二倍；是的二倍； 224??30o? ；cos? ； ②15?45?30?60?45?；问：sin12122ooooo③??(???)??；④
?4????2?(?4??)；
⑤2??(???)?(???)?(?4??)?(?4??)；等等
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（2）函数名称变换：三角变形中，常常需要变函数名称为同名函数。如在三角函数中正余弦是基础，通常化切
为弦，变异名为同名。
（3）常数代换：在三角函数运算，求值，证明中，有时需要将常数转化为三角函数值，例如常数“1”的代换变
形有： 1?sin??cos??tan?cot??sin90?tan45
（4）幂的变换：降幂是三角变换时常用方法，对次数较高的三角函数式，一般采用降幂处理的方法。常用降幂公式有： ； 。降幂并非绝对，有时需要升幂，如对无理式1?cos?常用升幂化为有理式，常用升幂公式有： ； ； （5）公式变形：三角公式是变换的依据，应熟练掌握三角公式的顺用，逆用及变形应用。 如：
22oo1?tan?1?tan??_______________； ?______________；
1?tan?1?tan?tan??tan??____________；1?tan?tan??___________； tan??tan??____________；1?tan?tan??___________； 2tan?? ；1?tan2?? ；
tan20o?tan40o?3tan20otan40o? ；
sin??cos?? = ；
asin??bcos?? = ；（其中tan?? ；） 1?cos?? ；1?cos?? ；
（6）三角函数式的化简运算通常从：“角、名、形、幂”四方面入手；
基本规则是：见切化弦，异角化同角，复角化单角，异名化同名，高次化低次，无理化有理，特殊值与特
殊角的三角函数互化。
如：sin50o(1?3tan10o)? ；
tan??cot?? 。
高中数学 必修5知识点
第一章 解三角形
（一）解三角形：
1、正弦定理：在???C中，a、b、c分别为角?、?、C的对边，，则有a(R为???C的外接圆的半径)
2、正弦定理的变形公式：①a?2Rsin?，b?2Rsin?，c?2RsinC； ②sin??sin??bc??2R sin?sinCab，sin??，sinC?c；③a:b:c?sin?:sin?:sinC； 2R2R2R2223、三角形面积公式：S???C?1bcsin??1absinC?1acsin?．
2222224、余弦定理：在???C中，有a?b?c?2bccos?，推论：cos??b?c?a
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第二章 数列 1、数列中an与Sn之间的关系： ,(n?1)?S1注意通项能否合并。 an??S?S,(n?2).n?1?n2、等差数列： ⑴定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，即an－an?1=d ，（n≥2，n∈N?）， 那么这个数列就叫做等差数列。
⑵等差中项：若三数a、A、b成等差数列?A?⑶通项公式：an?a1?(n?1)d?am?(n?m)d 或an?pn?q(p、q是常数）. ⑷前n项和公式：
a?b 2Sn?na1?n?n?1?n?a1?an?d? 22⑸常用性质： ①若m?n?p?q???m,n,p,q?N??，则am?an?ap?aq； ②下标为等差数列的项?ak,ak?m,ak?2m,??，仍组成等差数列； ③数列??an?b?（?,b为常数）仍为等差数列；
④若{an}、{bn}是等差数列，则{kan}、{kan?pbn} (k、p是非零常数)、{ap?nq}(p,q?N)、，…也成等差数列。
⑤单调性：?an?的公差为d，则：
ⅰ）d?0??an?为递增数列； ⅱ）d?0??an?为递减数列； ⅲ）d?0??an?为常数列；
⑥数列{an}为等差数列?an?pn?q（p,q是常数）
⑦若等差数列?an?的前n项和Sn，则Sk、S2k?Sk、S3k?S2k… 是等差数列。
3、等比数列 ⑴定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列。
*G、b成等比数列?G?ab,（ab同号）⑵等比中项：若三数a、。反之不一定成立。
⑶通项公式：an?a1qn?1?amqn?m ⑷前n项和公式：Sn?2a1?1?qn?1?q?a1?anq
1?q第 - 44 - 页 共 100 页
⑸常用性质
①若m?n?p?q???m,n,p,q?N??，则am?an?ap?aq；
②ak,ak?m,ak?2m,?为等比数列，公比为qk(下标成等差数列,则对应的项成等比数列)
③数列??an?（?为不等于零的常数）仍是公比为q的等比数列；正项等比数列?an?；则?lgan?是公差为lgq的等差数列；
2④若?an?是等比数列，则?can?，an， ????1? ?，a?n?r21a(r?Z)q，q，，qr. 是等比数列，公比依次是?n?q⑤单调性：
a1?0,q?1或a1?0,0?q?1??an?为递增数列；a1?0,0?q?1或a1?0,q?1??an?为递减数列；
q?1??an?为常数列； q?0??an?为摆动数列；
⑥既是等差数列又是等比数列的数列是常数列。
⑦若等比数列?an?的前n项和Sn，则Sk、S2k?Sk、S3k?S2k… 是等比数列.
4、非等差、等比数列通项公式的求法 类型Ⅰ 观察法：已知数列前若干项，求该数列的通项时，一般对所给的项观察分析，寻找规律，从而根据规律写出此数列的一个通项。
类型Ⅱ 公式法：若已知数列的前n项和Sn与an的关系，求数列?an?的通项an可用公式
,(n?1)?S1构造两式作差求解。 an???Sn?Sn?1,(n?2)用此公式时要注意结论有两种可能，一种是“一分为二”，即分段式；另一种是“合二为一”，即a1和an合为一个表达，（要先分n?1和n?2两种情况分别进行运算，然后验证能否统一）。 类型Ⅲ 累加法： 形如an?1?an?an?1?f(n?1)?a?a?f(n?2)?n?1n?2 ?an?f(n)型的递推数列（其中f(n)是关于n的函数）可构造： ?...???a2?a1?f(1)将上述n?1个式子两边分别相加，可得：an?f(n?1)?f(n?2)?...f(2)?f(1)?a1,(n?2)
①若f(n)是关于n的一次函数，累加后可转化为等差数列求和; ② 若f(n)是关于n的指数函数，累加后可转化为等比数列求和; ③若f(n)是关于n的二次函数，累加后可分组求和;
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