POPO??,O????推理模式:PA??A??a?PAa??,a?OA??A?a
概括为:垂直于射影就垂直于斜线.
⑵三垂线定理的逆定理:在平面内的一条直线,如果和这个平面的一条斜线垂直,那么它也和这条斜线的射影垂直 PO??,O????推理模式:PA??A??a?AO
a??,a?AP??概括为:垂直于斜线就垂直于射影.
7、三余弦定理 设AC是平面?内的任一条直线,AD是?的一条斜线AB在?内的射影,且BD⊥AD,垂足为D.设AB与? (AD)所成的角为?1, AD与AC所成的角为?2, AB与AC所成的角为?.则cos??cos?1cos?2.
BA??1?2?DC
8、 面积射影定理 已知平面?内一个多边形的面积为SS原,它在平面?内的射影图形的面积为S?S射,平面?与平面?所成的二面角的大小为锐二面角?,则
????S'S射 cos??=.
SS原9、一个结论 长度为l的线段在三条两两互相垂直的直线上的射影长分别为l1、l2、l3,夹角分别为?1、?2、?3,则有
l2?l12?l22?l32?cos2?1?cos2?2?cos2?3?1 ?sin2?1?sin2?2?sin2?3?2.
(立体几何中长方体对角线长的公式是其特例).
第三章 三角恒等变换
24、两角和与差的正弦、余弦和正切公式:
⑴cos??????cos?cos??sin?sin?;⑵cos??????cos?cos??sin?sin?; ⑶sin??????sin?cos??cos?sin?;⑷sin??????sin?cos??cos?sin?;
第 - 41 - 页 共 100 页
⑸tan??????tan??tan? ? (tan??tan??tan??????1?tan?tan??);
1?tan?tan?tan??tan? ? (tan??tan??tan??????1?tan?tan??).
1?tan?tan?⑹tan??????25、二倍角的正弦、余弦和正切公式:
⑴sin2??2sin?cos?.?1?sin2??sin2??cos2??2sin?cos??(sin??cos?)2 ⑵cos2??cos2??sin2??2cos2??1?1?2sin2?
?,1?cos??2sin2?升幂公式1?cos??2cos2?22cos2??11?cos2?2,sin??. ?降幂公式cos2??2226、
万能公式:αα2tan1?tan22;cosα? 2sinα? αα1?tan21?tan2222tan? tan2??.
1?tan2?27、
半角公式:
α1?cosαα1?cosαcos??;sin??
2222
α1?cosαsinα1?cosαtan????
21?cosα1?cosαsinα
?(后两个不用判断符号,更加好用)
28、合一变形?把两个三角函数的和或差化为“一个三角函数,一个角,一次方”的 y?Asin(?x??)?B形式。?sin???cos???2??2sin?????,其中tan???. ?29、三角变换是运算化简的过程中运用较多的变换,提高三角变换能力,要学会创设条件,灵活运用三角公式,掌握运算,化简的方法和技能.常用的数学思想方法技巧如下:
(1)角的变换:在三角化简,求值,证明中,表达式中往往出现较多的相异角,可根据角与角之间的和差,倍半,互补,互余的关系,运用角的变换,沟通条件与结论中角的差异,使问题获解,对角的变形如:
①2?是?的二倍;4?是2?的二倍;?是
???的二倍;是的二倍; 224??30o? ;cos? ; ②15?45?30?60?45?;问:sin12122ooooo③??(???)??;④
?4????2?(?4??);
⑤2??(???)?(???)?(?4??)?(?4??);等等
第 - 42 - 页 共 100 页
(2)函数名称变换:三角变形中,常常需要变函数名称为同名函数。如在三角函数中正余弦是基础,通常化切
为弦,变异名为同名。
(3)常数代换:在三角函数运算,求值,证明中,有时需要将常数转化为三角函数值,例如常数“1”的代换变
形有: 1?sin??cos??tan?cot??sin90?tan45
(4)幂的变换:降幂是三角变换时常用方法,对次数较高的三角函数式,一般采用降幂处理的方法。常用降幂公式有: ; 。降幂并非绝对,有时需要升幂,如对无理式1?cos?常用升幂化为有理式,常用升幂公式有: ; ; (5)公式变形:三角公式是变换的依据,应熟练掌握三角公式的顺用,逆用及变形应用。 如:
22oo1?tan?1?tan??_______________; ?______________;
1?tan?1?tan?tan??tan??____________;1?tan?tan??___________; tan??tan??____________;1?tan?tan??___________; 2tan?? ;1?tan2?? ;
tan20o?tan40o?3tan20otan40o? ;
sin??cos?? = ;
asin??bcos?? = ;(其中tan?? ;) 1?cos?? ;1?cos?? ;
(6)三角函数式的化简运算通常从:“角、名、形、幂”四方面入手;
基本规则是:见切化弦,异角化同角,复角化单角,异名化同名,高次化低次,无理化有理,特殊值与特
殊角的三角函数互化。
如:sin50o(1?3tan10o)? ;
tan??cot?? 。
高中数学 必修5知识点
第一章 解三角形
(一)解三角形:
1、正弦定理:在???C中,a、b、c分别为角?、?、C的对边,,则有a(R为???C的外接圆的半径)
2、正弦定理的变形公式:①a?2Rsin?,b?2Rsin?,c?2RsinC; ②sin??sin??bc??2R sin?sinCab,sin??,sinC?c;③a:b:c?sin?:sin?:sinC; 2R2R2R2223、三角形面积公式:S???C?1bcsin??1absinC?1acsin?.
2222224、余弦定理:在???C中,有a?b?c?2bccos?,推论:cos??b?c?a
2bc第 - 43 - 页 共 100 页
第二章 数列 1、数列中an与Sn之间的关系: ,(n?1)?S1注意通项能否合并。 an??S?S,(n?2).n?1?n2、等差数列: ⑴定义:如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数,即an-an?1=d ,(n≥2,n∈N?), 那么这个数列就叫做等差数列。
⑵等差中项:若三数a、A、b成等差数列?A?⑶通项公式:an?a1?(n?1)d?am?(n?m)d 或an?pn?q(p、q是常数). ⑷前n项和公式:
a?b 2Sn?na1?n?n?1?n?a1?an?d? 22⑸常用性质: ①若m?n?p?q???m,n,p,q?N??,则am?an?ap?aq; ②下标为等差数列的项?ak,ak?m,ak?2m,??,仍组成等差数列; ③数列??an?b?(?,b为常数)仍为等差数列;
④若{an}、{bn}是等差数列,则{kan}、{kan?pbn} (k、p是非零常数)、{ap?nq}(p,q?N)、,…也成等差数列。
⑤单调性:?an?的公差为d,则:
ⅰ)d?0??an?为递增数列; ⅱ)d?0??an?为递减数列; ⅲ)d?0??an?为常数列;
⑥数列{an}为等差数列?an?pn?q(p,q是常数)
⑦若等差数列?an?的前n项和Sn,则Sk、S2k?Sk、S3k?S2k… 是等差数列。
3、等比数列 ⑴定义:如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的比等于同一个常数,那么这个数列就叫做等比数列。
*G、b成等比数列?G?ab,(ab同号)⑵等比中项:若三数a、。反之不一定成立。
⑶通项公式:an?a1qn?1?amqn?m ⑷前n项和公式:Sn?2a1?1?qn?1?q?a1?anq
1?q第 - 44 - 页 共 100 页
⑸常用性质
①若m?n?p?q???m,n,p,q?N??,则am?an?ap?aq;
②ak,ak?m,ak?2m,?为等比数列,公比为qk(下标成等差数列,则对应的项成等比数列)
③数列??an?(?为不等于零的常数)仍是公比为q的等比数列;正项等比数列?an?;则?lgan?是公差为lgq的等差数列;
2④若?an?是等比数列,则?can?,an, ????1? ?,a?n?r21a(r?Z)q,q,,qr. 是等比数列,公比依次是?n?q⑤单调性:
a1?0,q?1或a1?0,0?q?1??an?为递增数列;a1?0,0?q?1或a1?0,q?1??an?为递减数列;
q?1??an?为常数列; q?0??an?为摆动数列;
⑥既是等差数列又是等比数列的数列是常数列。
⑦若等比数列?an?的前n项和Sn,则Sk、S2k?Sk、S3k?S2k… 是等比数列.
4、非等差、等比数列通项公式的求法 类型Ⅰ 观察法:已知数列前若干项,求该数列的通项时,一般对所给的项观察分析,寻找规律,从而根据规律写出此数列的一个通项。
类型Ⅱ 公式法:若已知数列的前n项和Sn与an的关系,求数列?an?的通项an可用公式
,(n?1)?S1构造两式作差求解。 an???Sn?Sn?1,(n?2)用此公式时要注意结论有两种可能,一种是“一分为二”,即分段式;另一种是“合二为一”,即a1和an合为一个表达,(要先分n?1和n?2两种情况分别进行运算,然后验证能否统一)。 类型Ⅲ 累加法: 形如an?1?an?an?1?f(n?1)?a?a?f(n?2)?n?1n?2 ?an?f(n)型的递推数列(其中f(n)是关于n的函数)可构造: ?...???a2?a1?f(1)将上述n?1个式子两边分别相加,可得:an?f(n?1)?f(n?2)?...f(2)?f(1)?a1,(n?2)
①若f(n)是关于n的一次函数,累加后可转化为等差数列求和; ② 若f(n)是关于n的指数函数,累加后可转化为等比数列求和; ③若f(n)是关于n的二次函数,累加后可分组求和;
第 - 45 - 页 共 100 页
最全高中数学知识点总结(最全集)-高中数学知识点总结精华版
![](/skin/haowen/images/icon_star.png)
![](/skin/haowen/images/icon_star.png)
![](/skin/haowen/images/icon_star.png)
![](/skin/haowen/images/icon_star.png)