解析 由题意，得m－m－1＝1，解得m＝2或m＝－1. 当m＝2时，f(x)＝x的图象与坐标轴有交点，不合题意. 当m＝－1时，f(x)＝x的图象与坐标轴无交点，符合题意. 综上可知，m＝－1. 答案 A
2.已知p：|m＋1|<1，q：幂函数y＝(m－m－1)x在(0，＋∞)上单调递减，则p是q的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
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m解析 p：由|m＋1|<1得－2 又幂函数y＝(m－m－1)x在(0，＋∞)上单调递减， 所以m－m－1＝1，且m<0，解得m＝－1. 故p是q的必要不充分条件. 答案 B 3.若函数f(x)＝x＋ax＋b在区间[0，1]上的最大值是M，最小值是m，则M－m( ) A.与a有关，且与b有关 B.与a有关，但与b无关 C.与a无关，且与b无关 D.与a无关，但与b有关 解析 设x1，x2分别是函数f(x)在[0，1]上的最小值点与最大值点，则m＝x1＋ax1＋b，M＝x2＋ax2＋b. 所以M－m＝x2－x1＋a(x2－x1)，显然此值与a有关，与b无关. 答案 B 4.(2020·长沙一中调研)定义在R上的函数f(x)＝－x＋m与函数g(x)＝f(x)＋x＋x－kx在[－1，1]上具有相同的单调性，则k的取值范围是( ) A.(－∞，－2] C.[－2，2] 3 3 3 2 2 2 2 2 2 2 2 m B.[2，＋∞) D.(－∞，－2]∪[2，＋∞) 解析 易知f(x)＝－x＋m在R上是减函数. 依题设，函数g(x)＝x－kx＋m在[－1，1]上单调递减. ∴抛物线的对称轴x＝≥1，则k≥2. 2 2 k答案 B ?25?2 5.若函数y＝x－3x－4的定义域为[0，m]，值域为?－，－4?，则m的取值范围是( ) ?4? A.[0，4] ?3?B.?，4? ?2??3?D.?，3? ?2? ?3?C.?，＋∞? ?2? 325?3?解析 二次函数图象的对称轴为x＝，且f??＝－，f(3)＝f(0)＝－4，结合函数图象(如 24?2? ?3?图所示)，可得m∈?，3?. ?2? 答案 D 二、填空题 1 6.已知函数f(x)为幂函数，且f(4)＝，则当f(a)＝4f(a＋3)时，实数a等于________. 211αα解析 设f(x)＝x，则4＝，所以α＝－. 221 因此f(x)＝x2，从而a2＝4(a＋3)2，解得a＝. 5 1－ 1－1－ 1答案 5 7.已知函数f(x)＝－x＋4x＋a，x∈[0，1]，若f(x)有最小值－2，则f(x)的最大值为________. 解析 f(x)＝－x＋4x＋a＝－(x－2)＋a＋4， ∴函数f(x)＝－x＋4x＋a在[0，1]上单调递增， ∴当x＝0时，f(x)取得最小值，当x＝1时，f(x)取得最大值， ∴f(0)＝a＝－2，f(1)＝3＋a＝3－2＝1. 答案 1 8.已知二次函数f(x)满足f(2＋x)＝f(2－x)，且f(x)在[0，2]上是增函数，若f(a)≥f(0)，则实数a的取值范围是________. 22 2 2 解析 由题意可知函数f(x)的图象开口向下，对称轴为x＝2(如图)，若f(a)≥f(0)，从图象观察可知0≤a≤4. 答案 [0，4] 三、解答题 9.已知函数f(x)＝x＋2ax＋3，x∈[－4，6]. (1)当a＝－2时，求f(x)的最值； (2)求实数a的取值范围，使y＝f(x)在区间[－4，6]上是单调函数. 解 (1)当a＝－2时，f(x)＝x－4x＋3＝(x－2)－1，由于x∈[－4，6]， ∴f(x)在[－4，2]上单调递减，在[2，6]上单调递增， ∴f(x)的最小值是f(2)＝－1， 又f(－4)＝35，f(6)＝15， 故f(x)的最大值是35. (2)由于函数f(x)的图象开口向上，对称轴是x＝－a，所以要使f(x)在[－4，6]上是单调函数，应有－a≤－4或－a≥6，即a≤－6或a≥4， 故a的取值范围是(－∞，－6]∪[4，＋∞). 10.已知幂函数f(x)＝(m－1)x(1)求m的值； (2)当x∈[1，2)时，记f(x)，g(x)的值域分别为集合A，B，设p：x∈A，q：x∈B，若p是q成立的必要条件，求实数k的取值范围. 解 (1)依题意得：(m－1)＝1?m＝0或m＝2， 当m＝2时，f(x)＝x在(0，＋∞)上单调递减，与题设矛盾，舍去，∴m＝0. (2)由(1)得，f(x)＝x， 当x∈[1，2)时，f(x)∈[1，4)，即A＝[1，4)， 当x∈[1，2)时，g(x)∈[2－k，4－k)， 即B＝[2－k，4－k)， 因p是q成立的必要条件，则B?A， 2－2 2 2 2m－4m＋22 2 2 在(0，＋∞)上单调递增，函数g(x)＝2－k. x??2－k≥1，??k≤1，则?即?得0≤k≤1. ?4－k≤4，??k≥0，? 故实数k的取值范围是[0，1]. B级 能力提升 11.幂函数y＝x，当α取不同的正数时，在区间[0，1]上它们的图象是一组美丽的曲线(如图)，设点A(1，0)，B(0，1)，连接AB，线段AB恰好被其中的两个幂函数y＝x，y＝x的图1 象三等分，即有BM＝MN＝NA，那么a－＝( ) abαb A.0 B.1 1C. 2 D.2 解析 BM＝MN＝NA，点A(1，0)，B(0，1)， ?12??21?所以M?，?，N?，?， ?33??33? 21ab将两点坐标分别代入y＝x，y＝x，得a＝log1，b＝log2， 3333121 ∴a－＝log1－＝0. b3123 log33答案 A 12.已知在(－∞，1]上递减的函数f(x)＝x－2tx＋1，且对任意的x1，x2∈[0，t＋1]，总有|f(x1)－f(x2)|≤2，则实数t的取值范围是( ) A.[－2，2] C.[2，3] 2 2 B.[1，2] D.[1，2] 解析 由于f(x)＝x－2tx＋1的图象的对称轴为x＝t， 又y＝f(x)在(－∞，1]上是减函数，所以t≥1. 则在区间[0，t＋1]上，f(x)max＝f(0)＝1， f(x)min＝f(t)＝t2－2t2＋1＝－t2＋1， 要使对任意的x1，x2∈[0，t＋1]，都有|f(x1)－f(x2)|≤2， 只需1－(－t＋1)≤2，解得－2≤t≤2. 2 又t≥1，∴1≤t≤2. 答案 B ?2?2 13.已知函数f(x)＝mx＋(2－m)x＋n(m>0)，当－1≤x≤1时，|f(x)|≤1恒成立，则f??＝ ?3? ________. 解析 当x∈[－1，1]时，|f(x)|≤1恒成立. ??|f（0）|≤1?|n|≤1?－1≤n≤1；∴? ?|f（1）|≤1?|2＋n|≤1?－3≤n≤－1，? 因此n＝－1，∴f(0)＝－1，f(1)＝1. 由f(x)的图象可知：要满足题意，则图象的对称轴为直线x＝0，∴2－m＝0，m＝2， 1?2?2 ∴f(x)＝2x－1，∴f??＝－. 9?3?1 答案 － 9 14.已知二次函数f(x)满足f(x＋1)－f(x)＝2x，且f(0)＝1. (1)求f(x)的解析式； (2)当x∈[－1，1]时，函数y＝f(x)的图象恒在函数y＝2x＋m的图象的上方，求实数m的取值范围. 解 (1)设f(x)＝ax＋bx＋c(a≠0)， 由f(x＋1)－f(x)＝2x，得2ax＋a＋b＝2x. 所以，2a＝2且a＋b＝0，解得a＝1，b＝－1， 又f(0)＝1，所以c＝1. 因此f(x)的解析式为f(x)＝x－x＋1. (2)因为当x∈[－1，1]时，y＝f(x)的图象恒在y＝2x＋m的图象上方， 所以在[－1，1]上，x－x＋1>2x＋m恒成立； 即x－3x＋1>m在区间[－1，1]上恒成立. 2 2 2 2 ?3?52 所以令g(x)＝x－3x＋1＝?x－?－， ?2?4 因为g(x)在[－1，1]上的最小值为g(1)＝－1， 所以m<－1.故实数m的取值范围为(－∞，－1). C级 创新猜想 15.(组合选择题)如图是二次函数y＝ax＋bx＋c(a≠0)图象的一部分，图象过点A(－3，0)， 2 2
2021届高考数学一轮复习第二章函数概念及基本初等函数Ⅰ第4节幂函数与二次函数教学案含解析新人教A版
