试确定该二次函数的解析式. 解 法一 (利用“一般式”解题) 设f(x)＝ax＋bx＋c(a≠0).
4a＋2b＋c＝－1，
a＝－4，???a－b＋c＝－1，?
由题意得?解得?b＝4，
4ac－b?＝8，?c＝7.??4a2
2
∴所求二次函数的解析式为f(x)＝－4x＋4x＋7. 法二 (利用“顶点式”解题) 设f(x)＝a(x－m)＋n(a≠0). 因为f(2)＝f(－1)， 所以抛物线的对称轴为x＝
2＋（－1）11
＝，所以m＝. 222
2
2
又根据题意，函数有最大值8，所以n＝8，
?1?所以y＝f(x)＝a?x－?＋8.
?2?
?1?因为f(2)＝－1，所以a?2－?＋8＝－1，解得a＝－4， ?2??1?2
所以f(x)＝－4?x－?＋8＝－4x＋4x＋7.
?2?
法三 (利用“零点式”解题)
由已知f(x)＋1＝0的两根为x1＝2，x2＝－1， 故可设f(x)＋1＝a(x－2)(x＋1)(a≠0)， 即f(x)＝ax－ax－2a－1.
4a（－2a－1）－（－a）
又函数有最大值8，即＝8.
4a解得a＝－4或a＝0(舍).
故所求函数的解析式为f(x)＝－4x＋4x＋7.
规律方法 求二次函数的解析式，一般用待定系数法，其关键是根据已知条件恰当选择二次函数解析式的形式，一般选择规律如下：
2
2
2
2
2
2
【训练2】 已知二次函数f(x)的图象经过点(4，3)，它在x轴上截得的线段长为2，并且对任意x∈R，都有f(2－x)＝f(2＋x)，则f(x)＝________. 解析 因为f(2－x)＝f(2＋x)对x∈R恒成立， 所以y＝f(x)的图象关于x＝2对称.
又y＝f(x)的图象在x轴上截得的线段长为2， 22
所以f(x)＝0的两根为2－＝1或2＋＝3.
22
所以二次函数f(x)与x轴的两交点坐标为(1，0)和(3，0). 因此设f(x)＝a(x－1)(x－3). 又点(4，3)在y＝f(x)的图象上， 所以3a＝3，则a＝1.
故f(x)＝(x－1)(x－3)＝x－4x＋3. 答案 x－4x＋3
考点三 二次函数的图象及应用
【例3】 (1)对数函数y＝logax(a>0且a≠1)与二次函数y＝(a－1)x－x在同一坐标系内的图象可能是( )
2
2
2
(2)设函数f(x)＝x＋x＋a(a>0)，已知f(m)<0，则( ) A.f(m＋1)≥0 C.f(m＋1)>0
B.f(m＋1)≤0 D.f(m＋1)<0
2
2
解析 (1)若0 若a>1，则y＝loga x在(0，＋∞)上是增函数， y＝(a－1)x2－x图象开口向上，且对称轴在y轴右侧， 因此B项不正确，只有选项A满足. 1 (2)因为f(x)的对称轴为x＝－，f(0)＝a>0，所以f(x)的大致图象如图所示. 2 由f(m)<0，得－1 所以m＋1>0，所以f(m＋1)>f(0)>0. 答案 (1)A (2)C 规律方法 1.研究二次函数图象应从“三点一线一开口”进行分析，“三点”中有一个点是顶点，另两个点是图象上关于对称轴对称的两个点，常取与x轴的交点；“一线”是指对称轴这条直线；“一开口”是指抛物线的开口方向. 2.求解与二次函数有关的不等式问题，可借助二次函数的图象特征，分析不等关系成立的条件. 【训练3】 一次函数y＝ax＋b与二次函数y＝ax＋bx＋c在同一坐标系中的图象大致是( ) 2 解析 A中，由一次函数y＝ax＋b的图象可得a>0，此时二次函数y＝ax＋bx＋c的图象应该开口向上，A错误； B中，由一次函数y＝ax＋b的图象可得a>0，b>0，此时二次函数y＝ax＋bx＋c的图象应该开口向上，对称轴x＝－<0，B错误；C中，由一次函数y＝ax＋b的图象可得a<0，b<0， 2a此时二次函数y＝ax＋bx＋c的图象应该开口向下，对称轴x＝－<0，C正确； 2aD中，由一次函数y＝ax＋b的图象可得a<0，b<0，此时二次函数y＝ax＋bx＋c的图象应该开口向下，D错误. 答案 C 考点四 二次函数的性质 多维探究 2 2 22 bb角度1 二次函数的单调性与最值 【例4－1】 已知二次函数f(x)＝ax＋bx＋1(a，b∈R且a≠0)，x∈R. (1)若函数f(x)的最小值为f(－1)＝0，求f(x)的解析式，并写出单调区间； (2)在(1)的条件下，f(x)>x＋k在区间[－3，－1]上恒成立，试求k的取值范围. 2 a>0，??b??a＝1， 解 (1)由题意知?－＝－1，解得? 2a?b＝2.???f（－1）＝a－b＋1＝0， 所以f(x)＝x＋2x＋1， 由f(x)＝(x＋1)知，函数f(x)的单调递增区间为[－1，＋∞)，单调递减区间为(－∞，－1]. (2)由题意知，x＋2x＋1>x＋k在区间[－3，－1]上恒成立，即k 令g(x)＝x＋x＋1，x∈[－3，－1]， 2 2 2 22 ?1?3 由g(x)＝?x＋?＋知g(x)在区间[－3，－1]上是减函数，则g(x)min＝g(－1)＝1，所以k<1， ?2?4 故k的取值范围是(－∞，1). 角度2 二次函数中的恒成立问题 【例4－2】 (2020·沈阳模拟)已知函数f(x)＝－x＋ax－6，g(x)＝x＋4.若对任意x1∈(0，＋∞)，存在x2∈(－∞，－1]，使f(x1)≤g(x2)，则实数a的最大值为( ) A.6 B.4 C.3 D.2 2 2 解析 由题意f(x)max≤g(x)max，(*) 由g(x)在(－∞，－1]上单调递增，则g(x)max＝g(－1)＝3， ?a?af(x)＝－x＋ax－6＝－?x－?＋－6. ?2?4 2 2 2 当a≤0时，f(x)在[0，＋∞)上单调递减， 所以f(x) ?a?a当a>0时，x＝∈(0，＋∞)，∴f(x)max＝f??＝－6. 2?2?4 a此时应有－6≤3，且a>0，解得0 2 a2 规律方法 1.二次函数最值问题的解法：抓住“三点一轴”数形结合，三点是指区间两个端点和中点，一轴指的是对称轴，结合图象，根据函数的单调性及分类讨论的思想求解. 2.由不等式恒成立求参数取值范围的思路及关键 (1)一般有两个解题思路：一是分离参数；二是不分离参数. (2)两种思路都是将问题归结为求函数的最值，至于用哪种方法，关键是看参数是否易分离.这两个思路的依据是：a≥f(x)恒成立?a≥f(x)max，a≤f(x)恒成立?a≤f(x)min. 【训练4】 (1)(角度1)若函数f(x)＝x＋ax＋b的图象与x轴的交点为(1，0)和(3，0)，则函数f(x)( ) A.在(－∞，2]上递减，在[2，＋∞)上递增 B.在(－∞，3)上递增 C.在[1，3]上递增 D.单调性不能确定 (2)(角度2)若函数f(x)＝ax－(2a＋1)x＋a＋1对于x∈[－1，1]时恒有f(x)≥0，则实数a的取值范围是________. 解析 (1)由已知可得该函数图象的对称轴为x＝2，又二次项系数为1>0，所以f(x)在(－∞，2]上是递减的，在[2，＋∞)上是递增的. (2)?x∈[－1，1]时，f(x)≥0?a(x－1)≥x－1.(*) 当x＝1时，a∈R，(*)式恒成立. 当x∈[－1，1)时，(*)式等价于a≥又t＝ 1 恒成立. x－1 2 2 2 1?1?＝－1. 在[－1，1)上是减函数，a≥??x－12?x－1?max 1 综上知a≥－. 2 ?1?答案 (1)A (2)?－，＋∞? ?2? A级 基础巩固 一、选择题 1.(2020·濮阳模拟)已知函数f(x)＝(m－m－1)xm＋2m－3是幂函数，且其图象与两坐标轴都没有交点，则实数m＝( ) A.－1 B.2 C.3 D.2或－1 2 2
2021届高考数学一轮复习第二章函数概念及基本初等函数Ⅰ第4节幂函数与二次函数教学案含解析新人教A版
