第4节 幂函数与二次函数
123
考试要求 1.了解幂函数的概念；结合函数y＝x，y＝x，y＝x，y＝x2，y＝的图象，了解
1
x它们的变化情况；2.理解二次函数的图象和性质，能用二次函数、方程、不等式之间的关系解决简单问题.
知 识 梳 理
1.幂函数 (1)幂函数的定义
一般地，形如y＝x的函数称为幂函数，其中x是自变量，α为常数. (2)常见的五种幂函数的图象
α
(3)幂函数的性质
①幂函数在(0，＋∞)上都有定义；
②当α>0时，幂函数的图象都过点(1，1)和(0，0)，且在(0，＋∞)上单调递增； ③当α<0时，幂函数的图象都过点(1，1)，且在(0，＋∞)上单调递减. 2.二次函数
(1)二次函数解析式的三种形式 一般式：f(x)＝ax＋bx＋c(a≠0).
顶点式：f(x)＝a(x－m)＋n(a≠0)，顶点坐标为(m，n). 零点式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，x1，x2为f(x)的零点. (2)二次函数的图象和性质
函数 2
2
y＝ax2＋bx＋c(a>0) y＝ax2＋bx＋c(a<0) 图象 (抛物线) 定义域 值域 对称轴 顶点 坐标 奇偶性 R ?4ac－b，＋∞? ?4a???bx＝－ 2a2?－∞，4ac－b? ?4a???2?－b，4ac－b? ?2a?4a??当b＝0时是偶函数，当b≠0时是非奇非偶函数 在?－∞，－?上是减函数； 2a??在?－，＋∞?上是增函数 ?2a?2?b?单调性 在?－∞，－?上是增函数； 2a??在?－，＋∞?上是减函数 ?2a??b??b??b?[常用结论与微点提醒]
1.二次函数的单调性、最值与抛物线的开口方向和对称轴及给定区间的范围有关. 2.若f(x)＝ax＋bx＋c(a≠0)，则当?
2
?a>0，???Δ<0
时恒有f(x)>0；当?
?a<0，???Δ<0
时，恒有f(x)<0.
3.(1)幂函数的图象一定会出现在第一象限内，一定不会出现在第四象限；
(2)幂函数的图象过定点(1，1)，如果幂函数的图象与坐标轴相交，则交点一定是原点.
诊 断 自 测
1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)
1
(1)函数y＝2x3是幂函数.( )
(2)当α>0时，幂函数y＝x在(0，＋∞)上是增函数.( )
(3)二次函数y＝ax＋bx＋c(a≠0)的两个零点可以确定函数的解析式.( ) 4ac－b(4)二次函数y＝ax＋bx＋c(x∈[a，b])的最值一定是.( )
4a2
1
2
2
α解析 (1)由于幂函数的解析式为f(x)＝x，故y＝2x3不是幂函数，(1)错. (3)确定二次函数的解析式需要三个独立的条件，两个零点不能确定函数的解析式.
2
bb4ac－b(4)对称轴x＝－，当－小于a或大于b时，最值不是，故(4)错.
2a2a4aα答案 (1)× (2)√ (3)× (4)×
2??1α2.(老教材必修1P79T1改编)已知幂函数f(x)＝k·x的图象过点?，?，则k＋α＝( )
?22?1A. 2
B.1
α3C. 2
D.2
解析 因为f(x)＝k·x是幂函数，所以k＝1. 22??1?1?又f(x)的图象过点?，?，所以??＝， 2?2??22?113
所以α＝，所以k＋α＝1＋＝.
222答案 C
3.(新教材必修第一册P86T7改编)如果函数f(x)＝ax＋2x－3在区间(－∞，4)上单调递增，则实数a的取值范围是________.
解析 当a＝0时，f(x)＝2x－3在(－∞，4)单调递增. 当a≠0时，f(x)在(－∞，4)上单调递增.
2
αa<0，??1
则a需满足?1解得－≤a<0.
4－≥4，?a?
1
综上可知，－≤a≤0.
4
?1?答案 ?－，0? ?4?
4
2
1
4.(2016·全国Ⅲ卷)已知a＝23，b＝33，c＝253，则( ) A.b 4 2 2 2 2 B.a 解析 因为a＝23＝43，b＝33，c＝53又y＝x3在(0，＋∞)上是增函数，所以c>a>b. 答案 A 5.(2020·河南省实验中学质检)已知函数f(x)＝3x－2(m＋3)x＋m＋3的值域为[0，＋∞)，则实数m的取值范围为( ) A.{0，－3} C.{0，3} B.[－3，0] D.(－∞，－3]∪[0，＋∞) 2 解析 依题意，得Δ＝4(m＋3)－4×3(m＋3)＝0，则m＝0或m＝－3.∴实数m的取值范围是{0，－3}. 答案 A ?1 6.(2018·上海卷)已知α∈?－2，－1，－， 2? 2 ?1 ，1，2，3?.若幂函数f(x)＝xα为奇函数，2? 且在(0，＋∞)上递减，则α＝______. 解析 由y＝x为奇函数，知α取－1，1，3. 又y＝x在(0，＋∞)上递减，∴α<0，取α＝－1. 答案 －1 考点一 幂函数的图象和性质 【例1】 (1)幂函数y＝f(x)的图象过点(4，2)，则幂函数y＝f(x)的大致图象是( ) αα ?1?n(2)(2020·衡水中学调研)已知点(m，8)在幂函数f(x)＝(m－1)x的图象上，设a＝f??，b?3? ＝f(ln π)，c＝f(22)，则a，b，c的大小关系是( ) A.a α1－ B.a 解析 (1)设幂函数的解析式为y＝x， 因为幂函数y＝f(x)的图象过点(4，2)， 1α所以2＝4，解得α＝. 2 所以y＝x，其定义域为[0，＋∞)，且是增函数，当0 (2)由于f(x)＝(m－1)x为幂函数， 所以m－1＝1，则m＝2，f(x)＝x. 又点(2，8)在函数f(x)＝x的图象上， 所以8＝2，知n＝3，故f(x)＝x，且在R上是增函数， n3 nnn又ln π>1>22＝ 1－ 21>， 23 1－ ?1?所以f(ln π)>f(22)>f??，则b>c>a. ?3? 答案 (1)C (2)A 规律方法 1.对于幂函数图象的掌握，需记住在第一象限内三条线分第一象限为六个区域，即x＝1，y＝1，y＝x所分区域.根据α<0，0<α<1，α＝1，α>1的取值确定位置后，其余象限部分由奇偶性决定. 2.在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较. ?1?【训练1】 (1)(2019·荆门模拟)已知点?2，?在幂函数f(x)的图象上，则f(x)是( ) ?2? A.奇函数 B.偶函数 C.定义域内的减函数 D.定义域内的增函数 (2)若幂函数y＝x，y＝x与y＝x在第一象限内的图象如图所示，则m与n的取值情况为( ) －1 mn A.－1 αB.－1 1??2，解析 (1)设幂函数y＝f(x)＝x，且图象过点??， ?2? 1α－1 ∴2＝，得α＝－1，则f(x)＝x在x∈R且x≠0时为奇函数，但在定义域内不单调. 2(2)幂函数y＝x，当α>0时，y＝x在(0，＋∞)上为增函数，且0<α<1时，图象上凸，∴0 【例2】 (一题多解)已知二次函数f(x)满足f(2)＝－1，f(－1)＝－1，且f(x)的最大值是8， －1 αααn
2021届高考数学一轮复习第二章函数概念及基本初等函数Ⅰ第4节幂函数与二次函数教学案含解析新人教A版
