无穷区间上分数阶微分方程积分边值问题正解的存在性

由天下分享时间：2024/9/25 22:30:18 加入收藏我要投稿点赞

薛婷,刘文斌,张伟

【摘要】[摘要] 本文讨论了一类无穷区间上分数阶耦合微分方程积分边值问题,通过运用Krasnoselskii不动点定理,得到了边值问题至少存在一个正解,并举例验证了本文的结果.

【期刊名称】南京师大学报（自然科学版）【年(卷),期】2017(040)004 【总页数】11

【关键词】[关键词] 无穷区间,分数阶耦合微分方程,Krasnoselskii不动点定理,正解

分数阶微分方程在很多领域都有着广泛的应用. 例如:物理、化学、气体力学、电子动学、电子分析化学、生物、控制理论等. 分数阶微分为描述各种各样的材料和工艺的记忆和遗传性质提供了一个极好的工具,这也是分数阶微分方程相对于整数阶微分方程的一个最主要的优势. 目前,分数阶算子已经帮助人们改善了许多在现实世界中物理和可积方面的数学模型[1-7].

2009年,Xi等人在文献[8]中讨论了下列二阶微分方程积分边值问题: 式中,

无穷区间上的非线性分数阶微分方程解的存在性问题已经有很多学者研究[9-16]. 其中,赵向奎和葛渭高[14]运用Leray-Sachuder非线性迭代定理的思想研究了下面的分数阶边值问题正解的存在性.

式中,t∈J=[0,+∞),f∈C(J×R,[0,+∞)),0≤ξ<∞且Dα是标准Riemann-Liouville分数阶微分. 然而,非线性分数阶微分方程边值问题和研究还在初期阶段,许多方

面的理论需要我们探究,尤其是在无穷区间上,分数阶微分方程积分边值问题的研究相对缺乏.

在本文中,我们研究了一类非线性分数阶耦合微分方程在无穷区间上的边值问题: (1)

这里且是标准的Riemann-Liouville分数阶微分.

本文的目的是给出积分边值问题(1)正解的存在性. 我们的证明是基于著名的Krasnoselskii不动点定理[17]. 即

定理1 E是一个Banach空间,P是E中的一个锥且P?E. 设Ω1,Ω2是P中的有界开子集,?Ω2. A:P→P是一个全连续算子,使得下面 ‖Aω‖≤‖ω‖,ω∈?Ω1, ‖Aω‖≥‖ω‖,ω∈?Ω2, 或

‖Aω‖≥‖ω‖,ω∈?Ω1, ‖Aω‖≤‖ω‖,ω∈?Ω2, 成立,则A在有一个不动点.

本文考虑的是无穷区间上的分数阶积分边值问题. 因为区间[0,+∞)是非紧的,所以经典的Arzela-Ascoli定理不能直接用来判断紧性,另外,本文讨论的是分数阶耦合方程的边值问题,而二维问题与一维问题在某种程度上有本质不同,为了克服区间紧性的缺失和方程维数变化带来的困难,本文定义新的Banach空间和其上的锥,构造了格林函数并分析其性质,在此基础上,运用了Krasnoselskii不动点定理证明了积分边值问题(1)正解的存在性.

1 预备知识

为了方便读者阅读,我们先给出一些基本概念.

定义1[18] 函数y:(0,+∞)→R的α>0阶的Riemann-Liouville分数阶定义为

等式的右端在(0,+∞)有定义.

定义2[18] 连续函数f:(0,+∞)→R的α>0阶的Riemann-Liouville分数阶导数定义为

只要等式的右端在(0,+∞)有定义.

定义3[8] 我们称fi:J×J×J→J是一个L1-Carathéodory函数,若 (1)对任何的(x,y)∈J×J,fi(·,x,y)可测; (2)对每个t∈J,fi(t,·,·)几乎处处连续;

(3)对每个r1,r2>0,存在φr1,r2∈L∞[0,+∞),对所有的x∈[0,r1],y∈[0,r2], 在t∈[0,+∞)几乎处处有

0≤fi(t,(1+tα-1)x,(1+tβ-1)y)≤φr1,r2(t). 式中,α,β∈(1,2],J=[0,+∞). 引理1[14] 假定则

式中,ci∈R,i=1,2,…,n,n=[α]+1. 在本文中,我们假设下面的条件成立:

(H1)gi∈L1[0,+∞)是非负的,且g1(t)tα-1dt<Γ(α),g2(t)tβ-1dt<Γ(β). (H2)fi是L1-Carathéodory函数,i=1,2. 令

定义范数为