离散型随机变量的分布列
1．离散型随机变量的分布列
(1)一般地，若离散型随机变量X可能取的不同值为x1，x2，…，xi，…，xn，X取每一个值
xi(i＝1，2，…，n)的概率P(X＝xi)＝pi，以表格的形式表示如下： X P x1 p1 x2 p2 … … xi pi … … xn pn 这个表格称为离散型随机变量X的概率分布列，简称为X的分布列． (2)离散型随机变量的分布列的性质： ①pi≥0，i＝1，2，…，n；
（1）离散型随机变量的分布列完全描述了由这个随机变量所刻画的随机现象.和函数的表示法一样，离散型随机变量的分布列也可以用表格、等式P（X＝xi）＝pi，i＝1，2，…，n和图象表示.
（2）随机变量的分布列不仅能清楚地反映随机变量的所有可能取值，而且能清楚地看到取每一个值的概率的大小，从而反映了随机变量在随机试验中取值的分布情况. 2．两个特殊分布 (1)两点分布
X P 0 1－p 1 p 若随机变量X的分布列具有上表的形式，则称X服从两点分布，并称p＝P(X＝1)为成功概率．
(2)超几何分布
CMCN－M一般地，在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有X件次品，则P(X＝k)＝n，
CNkn－kk＝0，1，2，…，m，
即
1
X P
其中m＝min{M，n}，且n≤N，M≤N，n，M，N∈N.
如果随机变量X的分布列具有上表的形式，则称随机变量X服从超几何分布．
*
0 CMCN－Mn CN0n－01 CMCN－Mn CN1n－1… … m CMCN－Mn CNmn－m
(1)超几何分布的模型是不放回抽样． (2)超几何分布中的参数是M，N，n.
(3)超几何分布可解决产品中的正品和次品、盒中的白球和黑球、同学中的男和女等问题，往往由差异明显的两部分组成
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)在离散型随机变量分布列中每一个可能值对应的概率可以为任意的实数．( ) (2)在离散型随机变量分布列中，在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各值的概率之积．( )
(3)在离散型随机变量分布列中，所有概率之和为1.( ) (4)超几何分布的模型是放回抽样．( ) 答案：(1)× (2)× (3)√ (4)×
下列表中能成为随机变量ξ的分布列的是( ) A. ξ P B. －1 0.3 0 0.4 1 0.4 ξ P C. 1 0.4 2 0.7 3 －0.1 ξ P D. －1 0.3 0 0.4 1 0.3 ξ P 答案：C
1 0.3 2 0.1 3 0.4 2
若随机变量X服从两点分布，且P(X＝0)＝0.8，P(X＝1)＝0.2.令Y＝3X－2，则P(Y＝－2)＝________． 答案：0.8
探究点1 离散型随机变量的分布列
某班有学生45人，其中O型血的有15人，A型血的有10人，B型血的有12人，AB型血的有8人．将O，A，B，AB四种血型分别编号为1，2，3，4，现从中抽1人，其血型编号为随机变量X，求X的分布列. 【解】 X的可能取值为1，2，3，4. C151C102
P(X＝1)＝1＝，P(X＝2)＝1＝，
C453C459C124C88
P(X＝3)＝1＝，P(X＝4)＝1＝.
C4515C4545故X的分布列为
1
1
1
1
X P
1 1 32 2 93 4 154 8 45求离散型随机变量分布列的一般步骤
(1)确定X的所有可能取值xi(i＝1，2，…)以及每个取值所表示的意义． (2)利用概率的相关知识，求出每个取值相应的概率P(X＝xi)＝pi(i＝1，2，…)． (3)写出分布列．
(4)根据分布列的性质对结果进行检验．
抛掷甲，乙两个质地均匀且四个面上分别标有1，2，3，4的正四面体，其
底面落于桌面，记底面上的数字分别为x，y.设ξ为随机变量，若为整数，则ξ＝0；若为小于1的分数，则ξ＝－1；若为大于1的分数，则ξ＝1. (1)求概率P(ξ＝0)； (2)求ξ的分布列．
xyxyxy3
解：(1)依题意，数对(x，y)共有16种情况，其中使为整数的有以下8种： (1，1)，(2，2)，(3，3)，(4，4)，(2，1)，(3，1)，(4，1)，(4，2)， 81
所以P(ξ＝0)＝＝.
162
(2)随机变量ξ的所有取值为－1，0，1. 1
由(1)知P(ξ＝0)＝；
2
xyξ＝－1有以下6种情况：(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，3)，(2，4)，(3，4)，故P(ξ＝
63
－1)＝＝；
168
ξ＝1有以下2种情况：(3，2)，(4，3)，故P(ξ＝1)＝＝，
所以随机变量ξ的分布列为
21168
ξ P －1 3 80 1 21 1 8探究点2 离散型随机变量的分布列的性质 设随机变量X的分布列P(X＝)＝ak(k＝1，2，3，4，5)．
5(1)求常数a的值； 3
(2)求P(X≥)；
517
(3)求P(＜X＜)．
1010
【解】 (1)由P(X＝)＝ak，k＝1，2，3，4，5可知，
5
5
kkk＝1
?P(X＝5)＝?ak＝a＋2a＋3a＋4a＋5a＝1，
k＝1
k5
1
解得a＝. 15
(2)由(1)可知P(X＝)＝(k＝1，2，3，4，5)，
515334
所以P(X≥)＝P(X＝)＋P(X＝)＋P(X＝1)
5553454
＝＋＋＝. 1515155
4
kk171231232(3)P(＜X＜)＝P(X＝)＋P(X＝)＋P(X＝)＝＋＋＝.
10105551515155
离散型随机变量分布列的性质的应用
(1)利用离散型随机变量的分布列的性质可以求与概率有关的参数的取值或范围，还可以检验所求分布列是否正确．
(2)由于离散型随机变量的各个可能值表示的事件是彼此互斥的，所以离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和．
(2024·河北邢台一中月考)随机变量X的分布列为P(X＝k)＝
5??2
＝1，2，3，4，c为常数，则P?＜X＜?的值为( )
2??34
A. 52C. 3
解析：选B.由题意＋＋＋＝1，
1×22×33×44×545即c＝1，c＝， 545??2
所以P?＜X＜?
2??3＝P(X＝1)＋P(X＝2) 1?5?1＋＝×??
4?1×22×3?5
＝.故选B. 6
探究点3 两点分布与超几何分布
一个袋中装有6个形状大小完全相同的小球，其中红球有3个，编号为1，2，3；黑球有2个，编号为1，2；白球有1个，编号为1.现从袋中一次随机抽取3个球． (1)求取出的3个球的颜色都不相同的概率．
(2)记取得1号球的个数为随机变量X，求随机变量X的分布列．
【解】 (1)从袋中一次随机抽取3个球，基本事件总数n＝C6＝20，取出的3个球的颜色都6111
不相同包含的基本事件的个数为C3C2C1＝6，所以取出的3个球的颜色都不相同的概率P＝
20
3
c，kk（k＋1）
5B. 63D. 4
cccc5
离散型随机变量的分布列
