第17讲 导数的应用——利用导数证明不等式(达标检测)(解析版)

《导数的应用——利用导数证明不等式》达标检测

[A组]—应知应会

1．(2020·河南豫南九校联考)设定义在(0，＋∞)上的函数f(x)的导函数f′(x)满足xf′(x)>1，则( ) A．f(2)－f(1)>ln 2 C．f(2)－f(1)>1

B．f(2)－f(1)

1

【解析】选A.根据题意，函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，则xf′(x)>1?f′(x)>＝(ln x)′，即f′(x)－(ln x)′>0.

x令F(x)＝f(x)－ln x，则F(x)在(0，＋∞)上单调递增，故f(2)－ln 2>f(1)－ln 1，即f(2)－f(1)>ln 2.

2．（2020?定海区校级模拟）若0ln x2－ln x1 B．e x2－e x1x1ex2 D．x2ex1

ex【解析】选C.令f(x)＝，

xxex－exex（x－1）

则f′(x)＝＝.

x2x2当0

即f(x)在(0，1)上单调递减，因为0

所以f(x2)

x2x1所以x2ex1>x1ex2，故选C.

3．（2020春?宁波期末）已知函数f(x)＝aex－ln x－1.(e＝2.718 28…是自然对数的底数)． (1)设x＝2是函数f(x)的极值点，求实数a的值，并求f(x)的单调区间； 1

(2)证明：当a≥时，f(x)≥0.

e

1

【解】 (1)f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝aex－.

x1

由题设知，f′(2)＝0，所以a＝2.

2e111

从而f(x)＝2ex－ln x－1，f′(x)＝2ex－.

2e2ex当02时，f′(x)>0.