h(?)?lims?(s)?s?01?2.5 s3-15 已知系统的特征方程，试判别系统的稳定性，并确定在右半s平面根的个数及纯虚根。
（1）D(s)?s?2s?2s?4s?11s?10?0 （2）D(s)?s?3s?12s?24s?32s?48?0 （3）D(s)?s?2s?s?2?0
（4）D(s)?s?2s?24s?48s?25s?50?0
解（1）D(s)?s?2s?2s?4s?11s?10=0
Routh： S5 1 2 11 S4 2 4 10 S3 ? 6 S2
5432543254543254324??12? 10
S 6 S0 10
第一列元素变号两次，有2个正根。
（2）D(s)?s?3s?12s?24s?32s?48=0 Routh： S5 1 12 32
S4 3 24 48
54323?12?2432?3?48?4 ?16 0 334?24?3?162 ?12 48 S
412?16?4?48 S ?0 0 辅助方程 12s2?48?0,
12 S 24 辅助方程求导：24s?0
S3
S0 48
系统没有正根。对辅助方程求解，得到系统一对虚根 s1,2??j2。 （3）D(s)?s?2s?s?2?0
Routh： S5 1 0 -1
54 36
S4 2 0 -2 辅助方程 2s4?2?0
3 S3 8 0 辅助方程求导 8s?0
S2 ? -2 S 16?
S0 -2
第一列元素变号一次，有1个正根；由辅助方程2s?2?0可解出： 2s?2?2(s?1)(s?1)(s?j)(s?j)
D(s)?s?2s?s?2?(s?2)(s?1)(s?1)(s?j)(s?j) （4）D(s)?s?2s?24s?48s?25s?50?0 Routh： S5 1 24 -25
S4 2 48 -50 辅助方程 2s4?48s2?50?0
3 S3 8 96 辅助方程求导 8s?96s?0
54325444 S2 24 -50 S 338/3
S0 -50
第一列元素变号一次，有1个正根；由辅助方程2s?48s?50?0可解出： 2s?48s?50?2(s?1)(s?1)(s?j5)(s?j5)
4242D(s)?s5?2s4?24s3?48s2?25s?50?(s?2)(s?1)(s?1)(s?j5)(s?j5)
3-16 图3-54是某垂直起降飞机的高度控制系统结构图，试确定使系统稳定的K值范围。
解 由结构图，系统开环传递函数为：
K(4s2?2s?1) G(s)?32
s(s?s?4)5432?开环增益Kk?K4 ??系统型别v?3 D(s)?s?s?4s?4Ks?2Ks?K?0 Routh： S5 1 4 2K
37
S4 1 4K K
S3 ?4(1?K) K ? S2 (15?16K)K K ?K?1
K?1615?1.067
4(1?K)2?32K?47K?16 S ?0.536?K?0.933
4(1?K) S0 K ?K?0
?使系统稳定的K值范围是： 0.536?K?0.933。
3-17 单位反馈系统的开环传递函数为
G(s)?K
s(s?3)(s?5)要求系统特征根的实部不大于?1，试确定开环增益的取值范围。
解 系统开环增益 Kk?K15。特征方程为： D(s)?s?8s?15s?K?0 做代换 s?s??1 有：
32D(s?)?(s??1)3?8(s?1)2?15(s??1)?K?s?3?5s?2?2s??(K?8)?0
Routh ： S3 1 2 S2 5 K-8 S 18?K ?5K?18
S0 K?8 ?使系统稳定的开环增益范围为：
K?8
8K18?Kk?? 。 151515K(s?1)
s(Ts?1)(2s?1)3-18 单位反馈系统的开环传递函数为
G(s)?试在满足 T?0,K?1的条件下，确定使系统稳定的T和K的取值范围，并以T和K为坐标画出使系统稳定的参数区域图。
解 特征方程为：
38
D(s)?2Ts?(2?T)s?(1?K)s?K?0 Routh ： S3 2T 1?K ?T?0 S2 2?T K ?T??2 S 1?K?2TK ?T?2?322?T4 K?1S0 K ?综合所得条件，当K?1 时，使系统稳定的参数取值 范围如图解3-18中阴影部所示。
K?0
3-19 图3-55是核反应堆石墨棒位置控制闭环系统，其目的在于获得希望的辐射水平，增益4.4就是石墨棒位置和辐射水平的变换系数，辐射传感器的时间常数为0.1秒，直流增益为1，设控制器传递函数Gc(s)?1。
（1） 求使系统稳定的功率放大器增益K的取值范围； （2） 设K?20，传感器的传递函数H(s)?的取值范围。
解 （1）当控制器传递函数Gc(s)?1时 ?(s)?1（?不一定是0.1），求使系统稳定的??s?1C(s)2.64K(0.1s?1)? R(s)s(s?6)(0.1s?1)?2.64K 39
D(s)?s(s?6)(s?10)?26.4K?s?16s?60s?26.4K?0
32Routh:s3s2s1s0?
116960?26.4K1626.4K6026.4K0?K?36.36?K?0
0?K?36.36
1时 ?s?1（2）K?20，H(s)? ?(s)?
C(s)52.8(?s?1)? R(s)s(s?6)(?s?1)?52.8D(s)?s(s?6)(?s?1)?52.8??s3?(6??1)s2?6s?52.8?0
Routh:s3s2s1s0?6??16?16.8?6??152.8652.80????0.167???0.357
? 0???0.357
3-20 图3-56是船舶横摇镇定系统结构图，引入内环速度反馈是为了增加船只的阻尼。
（1） 求海浪扰动力矩对船只倾斜角的传递函数
?(s)MN(s)；
（2） 为保证MN为单位阶跃时倾斜角?的值不超过0.1，且系统的阻尼比为0.5，求K2、
K1和K3应满足的方程；
（3） 取K2=1时，确定满足（2）中指标的K1和K3值。
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第三章 线性系统的时域分析与校正 习题及答案
