22【答案】（1）C21:x2?4y，Cy4?x3?1，C2?1；
262:33:x?y（2）2?S△OMN?3． 【解析】（1）由已知设抛物线方程为x2?2py?p?0?，则4?2p，解得p?2， 即C1的方程为x2?4y，焦点坐标为F2?0,1?，
y2x2所以椭圆中c?1，其焦点也在y轴上设方程为a2?b2?1?a?b?0?，
?y2x2由?b22b2?a2?2?1，得x??，AB??3，又a2?b2?1，解得a?2，b?b?3， ?y??1aay2x2椭圆方程为4?3?1，又OF1?1所以所求圆的方程为x2?y2?1．
（2）因为直线l与圆C3相切，所以圆心O到直线的距离为1， 所以S1△OMN?2?MN?1?MN2， 当直线l的斜率不存在时方程为x??1，两种情况所得到的三角形OMN面积相等， ?22由?y??x?126?26??26?MN46?43得y??，不妨设M?1,?，N?1,??，?， ?x?13??3????3??3此时S△OMN?12?MN?1?263， 当直线l的斜率存在时设为k，直线方程为y?kx?m， 所以圆心O到直线的距离为m1?k2?1，即m2?k2?1，
?y2x2由??4??1，得?4?3k2?x2?6kmx?3m2?12?3?0， ?y?kx?m所以Δ?36k2m2?4?4?3k2??3m2?12??36k2?k2?1??4?4?3k2??3k2?9??48?2k2?3? 恒大于0，
设M?x?6km3m2?12M,yM?，N?xN,yN?，则xM?xN?3k2?4，xMxN?3k2?4， 所以S△OMN?MN2?11?k22?x2M?xN??4xMxN 2?1?3m2?12148?2k2?3?21?k2??6km??3k2?4???4?3k2?4?21?k23k2?231?k22k2?3?43k2?4，
令3k2?4?t，则k2?t?43，t?4，0?11t?4， ?232t2?t?12所以S△OMN3t2?233???1??t?????1??t???2， 是关于111t的二次函数开口向下，在0?t?4时单调递减，
6
所以
32?S26326△OMN?3，综上：2?S△OMN?3． 21．（12分）[2019·榆林一模]已知函数f?x??x2?x．
（1）设g?x??lnx?f?x?f??x?，求g?x?的最大值及相应的x值； （2）对任意正数x恒有f?x??f??1??1??x?????x?x??lnm，求m的取值范围．
【答案】（1）当x?1时，g?x?取得最大值g?1??0；（2）0?m?1． 【解析】（1）∵f?x??x2?x，∴f??x??2x?1，
∴g?x??lnx?f?x?f??x??lnx??x2?x??2x?1??lnx?2x3?3x2?x，
则g??x??1x?6x2?6x?1??1?x??6x2?1?x，
?0,???，∴6x2∵gx?的定义域为??1x?0，
①当0?x?1时，g??x??0；②当x?1时，g??x??0；③当x?1时，g??x??0， 因此g?x?在x??0,1?上是增函数，在x??1,???上是减函数， 故当x?1时，g?x?取得最大值g?1??0．
2（2）由（1）可知，f?x??f??1??x???x2?x?11?1??1?x2?x???x?x???2???x?x??，
2不等式f?x??f??1??x??????x?1?x??lnm可化为???x?1??1??1?x???2???x?x?????x?x??lnm①
因为x?0，所以x?1x?2（当且仅当x?1取等号） 设x?1x?s?s?2?，则把①式可化为s2?2?s?slnm，即lnm?s?2s?1（对s?2恒成立） 令h?s??s?2s?1，此函数在?2,???上是增函数， 所以h?s??s?2s?1的最小值为h?2??0， 于是lnm?0，即0?m?1．
请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22．（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】
[2019·山南期中]以坐标原点为极点，以x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C的极坐标方程为??2（???0,π?）
，直线l的参数方程为??x?2?tcos?（t?y?2?tsin?为参数）．
（1）点D在曲线C上，且曲线C在点D处的切线与直线x?y?2?0垂直，求点D的直角坐标和 曲线C的参数方程；
（2）设直线l与曲线C有两个不同的交点，求直线l的斜率的取值范围．
【答案】（1）??1,1?，曲线C的参数方程为???x?2cos?（?为参数，???0,π?）；（2）sin??2?3,2?2???y?2?．
【解析】（1）由??2????0,π??得曲线C的直角坐标方程为x2?y2?2?y?0?， 所以曲线C的参数方程为???x?2cos?（?为参数，???0,π?），设D点坐标为
?,2sin???y?2sin??2cos?，
由已知得C是以O?0,0?为圆心，2为半径的上半圆，
因为C在点D处的切线与l垂直，所以直线OD与直线x?y?2?0的斜率相同，??3π4， 故D点的直角坐标为??1,1?．
（2）设直线l:y?k?x?2??2与半圆x2?y2?2?y?0?相切时2k?21?k2?2，
∴k2?4k?1?0，∴k?2?3，k?2?3（舍去）， 设点B??2,0?，k2?0AB?2?2?2?2，
故直线l的斜率的取值范围为?2?3,2?2??． 23．（10分）【选修4-5：不等式选讲】
[2019·四川一诊]已知函数f?x??x?a?2x?1?1（a?R）的一个零点为1， （1）求不等式f?x??1的解集； （2）若
1m?2n?1?a?m?0,n?1?，求证：m?2n?11． 【答案】（1）??4??x0?x?3?；（2）证明见解析． ?【解析】（1）因为函数f?x??x?a?2x?1?1（a?R）的一个零点为1， 所以a?1，
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又当a?1时，f?x??x?1?2x?1?1，f?x??1?x?1?2x?1?2，
?上述不等式可化为??x?1??2 ，或?1?2?x?1 ，或??x?1?1?x?1?2x?2??1?x?2x?1?2?x?1?2x?1?2， 7
?解得??x?1??1?x?1?x?1 ，或??2，或???x?0?2?x?2??x?4，
3所以0?x?1或1?x?1或1?x?4，所以原不等式的解集为??x4?223?0?x?3?． ?（2）由（1）知
1m?2n?1?a?1，因为m?0，n?1， 所以m?2?n?1????m?2?n?1?????1?m?2?n?1???5?2mn?1?2?n?1?m?9， 当且仅当m?3，n?4时取等号，所以m?2n?11．
2019届湖北名校冲刺必刷高三第二次模拟考试卷 文科数学（四）（含答案解析）
