解密高考④ 立体几何问题重在“建”——建模、建系 ————[思维导图]————
————[技法指津]————
立体几何解答题建模、建系策略
立体几何解答题的基本模式是论证推理与计算相结合,以某个几何体为依托,分步设问,逐层加深.解决这类题目的原则是建模、建系.
(1)建模——将问题转化为平行模型、垂直模型、平面化模型或角度、距离等的计算模型;
(2)建系——依托于题中的垂直条件,建立空间直角坐标系,利用空间向量求解.
母题示例:全国卷Ⅲ,本小题满分12分
图1是由矩形ADEB、Rt△ABC和菱形BFGC组成的一个平面图形,其中AB=1,BE=BF=2,∠FBC=60°,将其沿AB,BC折起使得BE与BF重合,连接DG,如图2. 本题考查:线线平行的性质,面面垂直的判定、二面角的求法等知识,转化化归及推理论证等能力,直观形象、数学运算、逻辑推理等核心素养. 图1 图2 (1)证明:图2中的A,C,G,D四点共面,且平面ABC⊥平面BCGE; (2)求图2中的二面角B-CG-A的大小. [审题指导·发掘条件] 看到图形的折叠,想到折叠前后的不变量;看到证明四点共面,想到直线的平行或相交;看到证明面面垂直,想到先证明线面垂直;看到求二面角,想到法向量;缺相应点的坐标,借助(1)的结论及边长、角度等信息补建坐标系及相应点的坐标.
[构建模板·五步解法] 立体几何类问题的求解策略 第一步 找垂直 找出(或作出)具有公共交点的三条两两垂直的直线 母题突破:大连模拟,本小题满分12分 1.如图,在多面体ABCDEF中,四边形ABCD是菱形,EF∥AC,EF=1,∠ABC=60°,CE⊥平面ABCD,CE=3,CD=2,G是DE的中点.
(1)求证:平面ACG∥平面BEF;
(2)求直线AD与平面ABF所成的角的正弦值.
[解] (1)证明:连接BD交AC于O,则O是BD的中点,连接OG,∵G是DE的中点,故OG∥BE,又BE平面BEF,OG平面BEF,
第二步 写坐标 第三步 求向量 第四步 求夹角 第五步 得结论 得到所求两个计算向量的夹平面所成的角角 或直线与平面所成的角 建立空间直角求直线的方向坐标系,写出向量或平面的特殊点坐标 法向量 所以OG∥平面BEF. 2分
又EF∥AC,AC平面BEF,EF平面BEF,所以AC∥平面BEF,又AC∩OG=O,AC,OG平面ACG,所以平面ACG∥平面BEF.
(2)连接OF,由题意可得OC=1,即OC=EF, 又EF∥AC,所以四边形OCEF为平行四边形, 所以OF∥EC,OF=EC=3,
所以OF⊥平面ABCD,所以OF,OC,OD两两垂直. 如图,以O为坐标原点,分别以OC,OD,OF所在直线为x,y,
z轴建立空间直角坐标系,则A(-1,0,0),B(0,-3,
→→→
0),D(0,3,0),F(0,0,3),AD=(1,3,0),AB=(1,-3,0),AF=(1,0,3).
7分 6分
→?m⊥AB,
设平面ABF的法向量为m=(a,b,c),依题意有?→
,?m⊥AF??1,-3,0?=a-3b=0,??a,b,c?·
即? ??1,0,3?=a+3c=0,??a,b,c?·令a=3,则b=1,c=-1,m=(3,1,-1), →3+3|AD·m|15→
|cos〈AD,m〉|===5,
→4×5|AD||m|15
所以直线AD与平面ABF所成的角的正弦值是5. 2.(·太原模拟)在三棱柱ABC-A′B′C′中,AB=BC=CA=AA′,侧面ACC′A′⊥底面ABC,D是棱BB′的中点.
9分
11分
12分
(1)求证:平面DA′C⊥平面ACC′A′;
(2)若∠A′AC=60°,求二面角A-BC-B′的余弦值.
[解](1)取AC,A′C′的中点O,F,连接OF与A′C交于点E,连接DE,OB,B′F. 则E为OF的中点,因为三棱柱ABC-A′B′C′, 所以OF∥AA′∥BB′,且OF=AA′=BB′,
所以四边形BB′FO是平行四边形. 2分 又D是棱BB′的中点,所以DE∥OB. 因为侧面AA′C′C⊥底面ABC,且OB⊥AC, 所以OB⊥平面ACC′A′, 所以DE⊥平面ACC′A′, 又DE平面DA′C, 所以平面DA′C⊥平面ACC′A′.
5分
(2)连接A′O,因为∠A′AC=60°,所以△A′AC是等边三角形,故A′O⊥底面ABC.6分
设AB=BC=CA=AA′=2,可得A′O=OB=3, 分别以OB,OC,OA′分别为x,y,z轴正方向建立空间直角坐标系,
则A(0,-1,0),B(3,0,0),C(0,1,0),A′(0,0,3), →→→
BC=(-3,1,0),BB′=AA′=(0,1,3). 设平面BCC′B′的一个法向量为m=(x,y,z), →→则m·BC=0,m·BB′=0,
??-3x+y=0,所以?取x=1,y=3,z=-1,
??y+3z=0,
8分
数学(理)二轮教师用书:第2部分 专题4 解密高考④ 立体几何问题重在“建”——建模、建系 Word版含解析
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