解密高考④ 立体几何问题重在“建”——建模、建系 ————[思维导图]————
————[技法指津]————
立体几何解答题建模、建系策略
立体几何解答题的基本模式是论证推理与计算相结合，以某个几何体为依托，分步设问，逐层加深．解决这类题目的原则是建模、建系．
(1)建模——将问题转化为平行模型、垂直模型、平面化模型或角度、距离等的计算模型；
(2)建系——依托于题中的垂直条件，建立空间直角坐标系，利用空间向量求解．
母题示例：全国卷Ⅲ，本小题满分12分
图1是由矩形ADEB、Rt△ABC和菱形BFGC组成的一个平面图形，其中AB＝1，BE＝BF＝2，∠FBC＝60°，将其沿AB，BC折起使得BE与BF重合，连接DG，如图2. 本题考查：线线平行的性质，面面垂直的判定、二面角的求法等知识，转化化归及推理论证等能力，直观形象、数学运算、逻辑推理等核心素养. 图1 图2 (1)证明：图2中的A，C，G，D四点共面，且平面ABC⊥平面BCGE； (2)求图2中的二面角B-CG-A的大小. [审题指导·发掘条件] 看到图形的折叠，想到折叠前后的不变量；看到证明四点共面，想到直线的平行或相交；看到证明面面垂直，想到先证明线面垂直；看到求二面角，想到法向量；缺相应点的坐标，借助(1)的结论及边长、角度等信息补建坐标系及相应点的坐标．
[构建模板·五步解法] 立体几何类问题的求解策略 第一步 找垂直 找出(或作出)具有公共交点的三条两两垂直的直线 母题突破：大连模拟，本小题满分12分 1.如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是菱形，EF∥AC，EF＝1，∠ABC＝60°，CE⊥平面ABCD，CE＝3，CD＝2，G是DE的中点．
(1)求证：平面ACG∥平面BEF；
(2)求直线AD与平面ABF所成的角的正弦值．
[解] (1)证明：连接BD交AC于O，则O是BD的中点，连接OG，∵G是DE的中点，故OG∥BE，又BE平面BEF，OG平面BEF，
第二步 写坐标 第三步 求向量 第四步 求夹角 第五步 得结论 得到所求两个计算向量的夹平面所成的角角 或直线与平面所成的角 建立空间直角求直线的方向坐标系，写出向量或平面的特殊点坐标 法向量 所以OG∥平面BEF. 2分
又EF∥AC，AC平面BEF，EF平面BEF，所以AC∥平面BEF，又AC∩OG＝O，AC，OG平面ACG，所以平面ACG∥平面BEF.
(2)连接OF，由题意可得OC＝1，即OC＝EF， 又EF∥AC，所以四边形OCEF为平行四边形， 所以OF∥EC，OF＝EC＝3，
所以OF⊥平面ABCD，所以OF，OC，OD两两垂直. 如图，以O为坐标原点，分别以OC，OD，OF所在直线为x，y，
z轴建立空间直角坐标系，则A(－1,0,0)，B(0，－3，
→→→
0)，D(0，3，0)，F(0,0，3)，AD＝(1，3，0)，AB＝(1，－3，0)，AF＝(1,0，3).
7分 6分
→?m⊥AB，
设平面ABF的法向量为m＝(a，b，c)，依题意有?→
，?m⊥AF??1，－3，0?＝a－3b＝0，??a，b，c?·
即? ??1，0，3?＝a＋3c＝0，??a，b，c?·令a＝3，则b＝1，c＝－1，m＝(3，1，－1)， →3＋3|AD·m|15→
|cos〈AD，m〉|＝＝＝5，
→4×5|AD||m|15
所以直线AD与平面ABF所成的角的正弦值是5. 2.(·太原模拟)在三棱柱ABC-A′B′C′中，AB＝BC＝CA＝AA′，侧面ACC′A′⊥底面ABC，D是棱BB′的中点．
9分
11分
12分
(1)求证：平面DA′C⊥平面ACC′A′；
(2)若∠A′AC＝60°，求二面角A-BC-B′的余弦值．
[解](1)取AC，A′C′的中点O，F，连接OF与A′C交于点E，连接DE，OB，B′F. 则E为OF的中点，因为三棱柱ABC-A′B′C′， 所以OF∥AA′∥BB′，且OF＝AA′＝BB′，
所以四边形BB′FO是平行四边形. 2分 又D是棱BB′的中点，所以DE∥OB. 因为侧面AA′C′C⊥底面ABC，且OB⊥AC， 所以OB⊥平面ACC′A′， 所以DE⊥平面ACC′A′， 又DE平面DA′C， 所以平面DA′C⊥平面ACC′A′.
5分
(2)连接A′O，因为∠A′AC＝60°，所以△A′AC是等边三角形，故A′O⊥底面ABC.6分
设AB＝BC＝CA＝AA′＝2，可得A′O＝OB＝3， 分别以OB，OC，OA′分别为x，y，z轴正方向建立空间直角坐标系，
则A(0，－1,0)，B(3，0,0)，C(0,1,0)，A′(0,0，3)， →→→
BC＝(－3，1,0)，BB′＝AA′＝(0,1，3). 设平面BCC′B′的一个法向量为m＝(x，y，z)， →→则m·BC＝0，m·BB′＝0，
??－3x＋y＝0，所以?取x＝1，y＝3，z＝－1，
??y＋3z＝0，
8分
数学(理)二轮教师用书：第2部分 专题4 解密高考④ 立体几何问题重在“建”——建模、建系 Word版含解析
