高等数学无穷级数

第七章 无穷级数

10常数项级数概念及性质

1、定义 P264 ∑an=a1+a2+ +an+

n=1∞

an称为一般项或通项 Sn=u1+u2+ +un称为前n项部分和 例1、1 =3+3+ +3+ =0.331010210n 1+2+3+ +n+

1-1+1-1+ +(-1)n-1+ 2、定义 Sn=∑uK K=1n

an=Sn+1-Sn

如{Sn}收敛，则∑an收敛

n=1∞

3、几个重要极限

等比级数（几何） ∑aqn，当q<1 收敛，q≥1 发散； n=0∞

P级数 ∑Pn=1∞1nP>1 收敛，P≤1 发散； ∞1P=1当，∑ 又称调和级数。

n=1n

4、级数性质 P266

性质5是级数收敛的必要条件 即 ∑an收敛 →liman=0

n=1n→∞∞

例1、∑n=1∞n-11n-1 发散，∵ liman=lim=≠0 n→∞n→∞2n+122n+1 3n

例2、∑ 发散，∵ lim=-1≠0 nnn→∞n-3n=1n-3∞3n 例3、∑11 发散，但lim=0 n→∞nn=1n∞ 20正项级数判别法

∑un∞n=1un≥0

正项级数部分和数列{Sn}单调递增 ∴ 正项级数 收敛部分和数列有上界 1、比较判别法

设Vn≥un，如∑Vn收敛，则∑un收敛 n=1

∞n=1∞∞∞ 如∑un发散，则∑Vn发散 n=1n=1

例、判别下列级数敛散性 ∞（1）∑

n=114n+n2 （2）∑∞sin2n=1n2nπ 解（1）由于

∞14n2+n≥14n2+n2=11? 5n∵∑1发散，∴原级数发散 nn=1 sin2

（2）由于nπ∞1≤1，而∑收敛，∴原级数收敛 222n=1nnn 比较判别法的极限形式 如limun=A 则有 n→∞Vn

∞∞0

n=1

∞n=1∞∞∞A=+∞ 如∑un 收敛，则∑Vn收敛 n=1n=1 判别下列级数敛散性 例、∑lnn=1∞n+1 n lnn+1

∞1=1 又∑发散，∴原级数发散 1n=1n

n limn→∞

1例、（1）∑ （2）∑(1-cos) nn=1n2+1+nn=1∞1∞ （3）∑lnn n=2n∞ 1

解：（1）由limn→∞nn2+n+n=lim=1 21n→∞n+n+nn 111-cos21（2）lim=lim= 1n→∞n→∞12 n2n2 ∵ ∑∞1

2n=1n 收敛 ∴原级数收敛 lnn1（3）∵ >nn

∴∑

例、P271

2、比判别法 ∞(n≥3) ∵ ∑1 发散， nn=1∞lnn 发散 n=1n例7.7 7.8 设正项级数∑un的一般项满足 n=1∞

un+1lim=ρ n→∞un

则当ρ<1时，级数收敛，ρ>1时发散，ρ=1不定 3、根值法

设∑un为正项级数，如limun=ρ

n=1∞n→∞

则当ρ<1时，级数收敛，ρ>1时发散，ρ=1不定 正项级数判别其敛散性的步骤：

?≠0发散 首先考察limun? n→∞=0需进一步判别 ? ①如un中含n!或n的乘积通常选用比值法；

②如un是以n为指数幂的因子，通常用根值法，也可用比值法； ③如un含形如nα（α可以不是整数）因子，通常用比较法； ④利用级数性质判别其敛散性； ⑤据定义判别级数敛散性，考察limSn是否存在，实际上考察{Sn}n→∞是否有上界。

例、判别下列级数的敛散性 （1）∑∞2nn n!∞?n?

n （2）∑ ? （3）设a>0n=1nn=1?2n+1? （4）∑∞6n （5）

=17n-5

nnn∑∞=1n4+(-1)nn 6）∞ xn （

n∑=11+x1+x2 ? 1+xn x>0为常数? ???? ncos2nπ

（7）∑∞lnn（8） =12nn nn∑∞=14n 2n+1(n+1)!

解：（1）limun+1n+1 n→∞u=limn+1 nn→∞2nn! nn

=lim2nn

n→∞n+1n =lim2

n←∞?1?n ?1+n?? =2

e<1 收敛 （2）方法一：limn n→∞un=nlim→∞2n+1=1