2020高考数学 抽象函数常见题型解法综述

抽象函数常见题型解法综述

抽象函数是指没有给出函数的具体解析式，只给出了一些体现函数特征的式子的一类函数。由于抽象函数表现形式的抽象性，使得这类问题成为函数内容的难点之一。本文就抽象函数常见题型及解法评析如下：

一、定义域问题

例1. 已知函数

的定义域是［1，2］，求f(x)的定义域。

，所以

中的

满足

解：的定义域是［1，2］，是指从而函数f(x)的定义域是［1，4］ 评析：一般地，已知函数已知

中x的取值范围为A，据此求

的定义域是

的定义域是A，求f(x)的定义域问题，相当于

的值域问题。

的定义域。

中，由此可

例2. 已知函数解：得所以函数

，求函数

的定义域是，意思是凡被f作用的对象都在

的定义域是

评析：这类问题的一般形式是：已知函数f(x)的定义域是A，求函数的定义域。正确理解函数符号及其定义域的含义是求解此类问题的关键。这类问题实质上相当于已知形式上正相反。

二、求值问题 例3. 已知定义域为②解：取因为又取得

的值域B，且

，据此求x的取值范围。例2和例1

的函数f(x)，同时满足下列条件：①，求f(3)，f(9)的值。

；

，得

，所以

评析：通过观察已知与未知的联系，巧妙地赋值，取知条件用技巧。

三、值域问题

成立，且存在解：令若实数由于

，则，使得

对任意

，得

，这样便把已

与欲求的f(3)沟通了起来。赋值法是解此类问题的常

例4. 设函数f(x)定义于实数集上，对于任意实数x、y，

，使得

，即有成立矛盾，故

，求函数

或，对任意

的值域。

。

总

均成立，这与存在，必有

。 ，有

均成立，因此，对任意

下面来证明，对任意设存在

，使得

，则

这与上面已证的

矛盾，因此，对任意

所以

评析：在处理抽象函数的问题时，往往需要对某些变量进行适当的赋值，这是一般向特殊转化的必要手段。

四、解析式问题 例5. 设对满足

求f(x)的解析式。 解：在

的所有实数x，函数

满足

，

中以

代换其中x，得：

再在(1)中以代换x，得

化简得：

评析：如果把x和分别看作两个变量，怎样实现由两个变量向一个变量的转化是解题关键。通常情况下，给某些变量适当赋值，使之在关系中“消失”，进而保留一个变量，是实现这种转化的重要策略。

五、单调性问题

例6. 设f(x)定义于实数集上，当有证明：在若所以当而所以又当设所以

时，

，恒有

，则

所以对任意

时，，令，即有

，求证：

中取，则 ；当

时，

时，，得，与

矛盾

，且对于任意实数x、y，

在R上为增函数。

所以在R上为增函数。

评析：一般地，抽象函数所满足的关系式，应看作给定的运算法则，则变量的赋值或变量及数值的分解与组合都应尽量与已知式或所给关系式及所求的结果相关联。

六、奇偶性问题

例7. 已知函数解：取又取再取

得：则得：

对任意不等于零的实数

，试判断函数f(x)的奇偶性。

，所以，所以，即

为偶函数。

都有

因为为非零函数，所以

七、对称性问题

例8. 已知函数

满足

，求的值。