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习题3-1
1. 已知随机变量X1和X2的概率分布分别为 X1 -1 P 0 1 14X2 P 0 1212141 12 而且P{X1X2如 ?0}?1. 求X1和X2的联合分布律.
?0}?1知P{X1X2?0}?0. 因此X1和X2的联合分布必形
解 由P{X1X2 X2 X1 -1 0 1 p·j 0 1 pi· P11 P21 P31 0 P22 0 141 21412 12 1 于是根据边缘概率密度和联合概率分布的关系有X1和X2的联合分布律
X2 X1 -1 0 1 0 1 0 pi· 140 14 12 0 1 214 14.
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p·j 12 12 1 (2) 注意到P{X1?0,X2?0}?0, 而P{X1?0}?P{X2?0}?14?0, 所以X1和X2
不独立.
2. 一盒子中有3只黑球、2只红球和2只白球, 在其中任取4只球. 以X表示取到黑球的只数, 以Y表示取到红球的只数. 求X和Y的联合分布律.
解 从7只球中取4球只有C7球有j只(余下为白球4?i?4?35种取法. 在4只球中, 黑球有i只, 红
j只)的取法为
i4?i?jC3C2jC2,i?0,1,2,3,j?0,1,2,i?j≤4.
于是有
P{X?0,Y?2}?P{X?1,Y?2}?P{X?2,Y?1}?P{X?3,Y?0}?22C30C2C235121C3C2C2???1356,P{X?1,Y?1}??2,Y?0}??2,Y?2}?111C3C2C23502C32C2C2??6353,
3511C32C2C23512352,P{X,P{X3520C32C2C235301C3C2C235310C3C2C2?353352,
,
??, P{X?3,Y?1}?,
35353535 P{X?0,Y?0}?P{X?0,Y?1}?P{X?1,Y?0}?P{X?3,Y?2}?0.
分布律的表格形式为 X Y 0 0 0 1 351 0 6 356 352 3 3512 353 353 2 352 350 1 2 0 3. 设随机变量(X,Y)的概率密度为 ?k(6?x?y),0?x?2,2?y?4,f(x,y)??
0,其它.?求: (1) 常数k; (2) .
P{X?1,Y?3}; (3) P{X?1.5}; (4) P{X?Y≤4}.
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解 (1) 由
42??????????f(x,y)dxdy?1, 得
421??dy?k(6?x?y)dx?k?2012??2(6?y)x?xdy?k(10y?y)?8k, ??2?0?224所以
k?(2)
1. 8P{X?1,Y?3}??13x?1,y?3??f(x,y)dxdy??dy?231018(6?x?y)dx
(3)
13113?2?. ?(?y)dy?(6?y)x?xdy??28288?2?2??011P{X?1.5}??421.5??fX(x)dx??dx???1.5????f(x,y)dy
??dy??141.5018(6?x?y)dx
1.58?214633??(?y)dy 828227. ?32(4) 作直线x?y?4, 并记此直线下方区域与f(x,y)?0的矩形区域(0,2)?(0,4)的交集为G. 即G:0?x?2,0?y≤4?x.见图3-8. 因此
P{X?Y≤4}?P{(X,Y)?G}
44?x1 ???f(x,y)dxdy??dy?(6?x?y)dx
208G
12??(6?y)x?x?dy ?2?0???118?424?2?(6?y)x?xdy
??2??014?x12[(6?y)(4?y)?(4?y)]dy ?282141??[2(4?y)?(4?y)2]dy 822.
概率论与数理统计习题及答案第三章
