专题十一 等差数列与等比数列
命题角度一 等差数列与等比数列的基本量及其运算
??1??63
????7
例1 设Sn是等差数列{an}的前n项和,若3=,则6= .
例2 已知正项等比数列{an}的前n项和为Sn.若S9=S3+2S6,则S6+取得最小值时,S9的值为 .
1??3
??2??
1.已知数列{an}与{??}均为等差数列(n∈N),且a1=2,则a10= .
*2.在等比数列{an}中,已知a1=1,前n项和为Sn,S7-4S6+3S5=0,则S4= .
??2+??5
的值为 ??8
3.设Sn是等比数列{an}的前n项和,S3,S9,S6成等差数列,则
.
等差数列与等比数列中的基本量的运算,要充分运用通项公式和前n项和公式,将所给条件用首项和公差(公比)表示出来,充分运用函数和方程思想;同时还可以运用等差数列或等比数列的有关重要性质,如例2和跟踪训练2. 命题角度二 等差数列与等比数列中整数解问题
2222
设{an}是公差不为零的等差数列,Sn为其前n项和,满足??2+??3=??4+??5,S7=7.
(1)求数列{an}的通项公式及前n项和Sn; (2)试求所有的正整数m,使得
????????+1为数列{an}中的项. ????+3
??5??+51??
,试探究使得??为整数的正整数??????+3????
1.已知等差数列{an}和{bn}的前n项和分别是An和Bn,且??=n的个数.
2.在正项等比数列{an}中,已知a5=,a6+a7=3,则满足a1+a2+…+an>a1a2…an的最大正整数n的值为 .
1
2
3.设等差数列{an}的首项为a1,公差为d,且d≠0.
(1) 若a1=5d,则a2+a7是否是数列{an}中的项?若是,是第几项?若不是,请说明理由;
(2) 求证:数列{an}中任意不同的两项之和仍为数列{an}中的项的充要条件是存在整数m,使得a1=md,且m≥-1.
与数列有关的正整数解的确定方法: (1)因式分解法:先将不定方程两边的数分解为质因数的乘积,多项式分解为若干个因式的乘积,再由题意分类讨论求解. (2)利用整除性质:在二元不定方程中,当其中一个变量很好分离时,可分离变量后利用整除性质解决. (3)不等式估计法:利用不等式工具确定不定方程中某些字母的范围或等式一边的范围,再分别求解.如转化为f(m)=g(n)型,利用g(n)的上界或下界来估计f(m)的范围,通过解不等式得出m的范围,再一一验证即可. 命题角度三 等差数列与等比数列的判定与证明
例1 已知数列{an}满足a1=1,a2=2,an+2=2an+1-an+2. (1)设bn=an+1-an,证明:{bn}是等差数列; (2)求数列{an}的通项公式.
??+1??-1
例2 已知数列{an}的各项均为正数,且对任意n∈N,都有(a1a2…an)=??1????+1.求证:数列{an}为等比数列.
*2
已知数列{an}的各项均为正数,其前n项和为Sn,且2Sn+1-3Sn=2a1,n∈N.
*(1)求证:数列{an}为等比数列;
(2)若a1与at(t为常数,t≥3,t∈N)均为正整数,且存在正整数q,使得a1≥q,at≤(q+1),求a1的值.
*t-1
t-1
证明等差数列(或等比数列)运用定义,判断是否为数列中的项的方法就是确定方程有无正整数解的问题. 命题角度四 与等差数列、等比数列有关的最值、参数范围问题
32已知首项为的等比数列{an}不是递减数列,其前n项和为Sn(n∈N),且S3+a3,S5+a5,S4+a4成等差数列.
*(1)求数列{an}的通项公式;
1????
*[来源学科网ZXXK]
(2)设Tn=Sn-(n∈N),求数列{Tn}中最大项的值与最小项的值.
1.若数列{an}满足:对于任意n∈N,an+|an+1-an+2|均为数列{an}中的项,则称数列{an}为“T数列”.
*(1)若数列{an}的前n项和Sn=2n,n∈N,求证:数列{an}为“T数列”;
2
*(2)若公差为d的等差数列{an}为“T数列”,求d的取值范围;
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专题十一等差数列与等比数列-2024届高三二轮复习人教A版数学(理)专题练习(含解析)
