二项式定理
进门测
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
nkk
(1)Ckb是二项展开式的第k项．( × ) na
－
(2)二项展开式中，系数最大的项为中间一项或中间两项．( × ) (3)(a＋b)n的展开式中某一项的二项式系数与a，b无关．( √ ) (4)在(1－x)9的展开式中系数最大的项是第五、第六两项．( × )
(5)若(3x－1)7＝a7x7＋a6x6＋…＋a1x＋a0，则a7＋a6＋…＋a1的值为128.( × )
阶段训练
题型一 二项展开式
命题点1 求二项展开式中的特定项或指定项的系数
例1 (1)(2x＋x)5的展开式中，x3的系数是______________．(用数字填写答案) (2)(x2＋x＋y)5的展开式中，x5y2的系数为( ) A．10 C．30
答案 (1)10 (2)C
B．20 D．60
5k·5解析 (1)(2x＋x)5展开式的通项公式Tk＋1＝Ck(x)k＝Ck5(2x)52
－
－k
x5?k2，k∈{0,1,2,3,4,5}，令5－
k2
5＝3，解得k＝4，得T5＝C452
－4
x5-42＝10x3，∴x3的系数是10.
1
(2)方法一 利用二项展开式的通项公式求解． (x2＋x＋y)5＝[(x2＋x)＋y]5，
232
含y2的项为T3＝C2y. 5(x＋x)·
4x＝C1x5. 其中(x2＋x)3中含x5的项为C13x·3
1所以x5y2的系数为C25C3＝30.故选C.
方法二 利用组合知识求解．
(x2＋x＋y)5为5个x2＋x＋y之积，其中有两个取y，两个取x2，一个取x即可，所以x5y2的系数为
2C2＝30.故选C. C53
命题点2 已知二项展开式某项的系数求参数
例2 (1)(a＋x)(1＋x)4的展开式中x的奇数次幂项的系数之和为32，则a＝____________. 1?5?2＋ax(2)若的展开式中x5的系数为－80，则实数a＝________.
x??答案 (1)3 (2)－2
解析 (1)设(a＋x)(1＋x)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5， 令x＝1，得16(a＋1)＝a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5，① 令x＝－1，得0＝a0－a1＋a2－a3＋a4－a5.② ①－②，得16(a＋1)＝2(a1＋a3＋a5)，
即展开式中x的奇数次幂的系数之和为a1＋a3＋a5＝8(a＋1)，所以8(a＋1)＝32，解得a＝3.
25－k
(2)∵Tk＋1＝Ck5(ax)
?1?k＝a5－kCkx10－2k，
5
?x?
55
∴10－k＝5，解得k＝2，∴a3C25＝－80，解得a＝－2. 2
思维升华 求二项展开式中的特定项，一般是利用通项公式进行，化简通项公式后，令字母的指数
2
符合要求(求常数项时，指数为零；求有理项时，指数为整数等)，解出项数k＋1，代回通项公式即可．
(1)(x－y)(x＋y)8的展开式中x2y7的系数为________．(用数字填写答案)
(2)(x＋a)10的展开式中，x7的系数为15，则a＝________.(用数字填写答案) 1
答案 (1)－20 (2)
2
解析 (1)x2y7＝x·(xy7)，其系数为C78， x2y7＝y·(x2y6)，其系数为－C68，
6∴x2y7的系数为C78－C8＝8－28＝－20.
10kak，令10－k＝7， (2)设通项为Tk＋1＝Ck10x
－
3a3＝15， ∴k＝3，∴x7的系数为C10
11∴a3＝，∴a＝. 82
题型二 二项式系数的和或各项系数的和的问题 例3 在(2x－3y)10的展开式中，求： (1)二项式系数的和； (2)各项系数的和；
(3)奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和； (4)奇数项系数和与偶数项系数和； (5)x的奇次项系数和与x的偶次项系数和．
解 设(2x－3y)10＝a0x10＋a1x9y＋a2x8y2＋…＋a10y10，(*)
各项系数的和为a0＋a1＋…＋a10，奇数项系数和为a0＋a2＋…＋a10，偶数项系数和为a1＋a3＋a5＋…
3
【新高考】高三数学一轮基础复习讲义：第十章 10.3二项式定理-教师版
