专题6：空间的平行与垂直问题
问题归类篇
类型一: 线线平行
一、前测回顾
1．如图所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，若D、E是棱CC1，AB的中点，求证：DE∥平面AB1C1．
A1 A 提示：法一：用线面平行的判定定理来证： “平行投影法”：取AB1的中点F，证四边形C1DEF是平行四边形．
“中心投影法”延长BD与B1C1交于M，利用三角线中位线证DE∥AM． E法二：用面面平行的性质
D 取BB1中点G，证平面DEG∥平面AB1C1． C C1
二、方法联想
（1）证明线线平行 方法1：利用中位线；
方法2：利用平行四边形； 方法3：利用平行线段成比例； 方法4：利用平行公理； 方法5：利用线面平行性质定理； 方法6：利用线面垂直性质定理； 方法7：利用面面平行．
（2）已知线线平行，可得线面平行
B B1 三、归类巩固
E F *1．如图，在五面体ABCDEF中，面ABCD为平行四边形，求证：EF∥BC． (平行公理证明线线平行，由线线平行得线面平行)
D A
B C 类型二: 线面平行
一、前测回顾
1．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，
(1)求证：平面A1BD∥平面B1D1C (2)若E，F分别是A1A，C1C的中点，求证：平面EB1D1∥平面BDF． 提示：(1)用面面平行的判定定理证： 证明BD∥B1D1，A1B∥D1C． (2)证明BD∥B1D1，BF∥D1E．
A1
D1 B1
C1
F· C E· D A B 二、方法联想
（1）证明线面平行
方法1 构造三角形(中心投影法)，转化为线线平行．寻找平面内平行直线步骤，如下图：①在直线
和平面外寻找一点P；②连接PA交平面α于点M；③连接PA交平面α于点N，④连接MN即为要找的平行线．
1
A B 方法2：构造平行四边形(平行投影法) ，转化为线线平行．寻找平面内
① ① 平行直线步骤，如下图：①选择直线上两点A、B构造两平行直线
和平面α相交于M、N；②连接MN即为要找的平行线．
M ② N
A B 方法3：构造面面平行．构造平行平面步骤，如下图：①过A做AC平
① ② 行于平面α内一条直线A’C’；②连结BC；③平面ABC即为所要C 找的平行平面． A’ C’
（2）已知线面平行
l 方法1 可得线线平行，过直线l做平面β交已知平面α于直线m，则l∥m． m 方法2 可得面面平行
α
三、归类巩固
2
**1．如图所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，D、E是棱CC1，AB的上的点，且AE＝AB，
3
CD
若DE∥平面AB1C1，求的值．
DC1
D P （已知线面，转化为线线平行）
G A C E H B
*2．E，P，G，H分别是四面体的棱ABCD的棱AB、CD、CA、CB的中点， 求证：PE∥平面PGH．
（通过面面的平行证明线面平行）
*3．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是A1A的中点．点F在棱CC1上，使得平面EB1D1∥平面BDF． 求证：点F为棱CC1的中点．
类型三: 面面平行
一、前测回顾
1．在正方体ABCD—A1B1C1D1中，M为棱CC1的中点，AC交BD于O，求证：A1O⊥平面MBD
D1 C1
提示：用线面垂直的判定定理：
A1 证BD⊥平面AA1C1C，从而得出BD⊥A1O； B 在矩形AA1C1C中，用平几知识证明A1O⊥OM；
1
M D A O B C 二、方法联想
（1）证明面面平行
方法 在一个平面内寻找两条相交直线证明与另一个平面平行．
注意 证面面平行必须先通过证线面平行，不可以直接通过证线线平行来证面面平行．
2
（2）已知面面平行 可得线线平行
三、归类巩固
*1． 如图，在三棱锥S－ABC中，平面SAB⊥平面SBC，AB⊥BC，AS＝AB，过A作AF⊥SB，垂足为F，
点E，G分别是棱SA，SC的中点．
求证：（1）平面EFG∥平面ABC； （2）BC⊥SA． 答案：证明略 (考查平面与平面平行，线线垂直)
E F A
B C S G 类型四: 线线垂直
一、前测回顾
1．在正三棱柱ABC－A1B1C1中，所有棱长均相等，D为BB1的中点，求证：A1B⊥C D． 分析：要证明A1B⊥C D，只要证明A1B与CD所在的平面垂直，或CD与A1B所在的平面垂直， 但都没有现成的平面，构造经过CD的平面与直线A1B垂直，或经过A1B的平面与直线CD垂直．
方法1：取AB的中点E，连CE，证A1B⊥平面CDE； 方法2：取B1C1的中点F，连BF，证CD⊥平面A1BF．
A B （1）证明线线垂直
方法1：利用线面垂直；
构造垂面证线线垂直 要证l垂直于AB，构造垂面证线线垂直步骤:如下图：①过A找垂直于l的直线AC；②连结BC，③证BC垂直l ，则l⊥面ABC． 方法2：利用线线平行转移线线垂直； 方法3：利用勾股定理；
方法4：利用等腰三角形三线合一； 方法5：利用菱形对角线互相垂直； 方法6：利用四边形为矩形． （2）已知线线垂直 可得线面垂直
A ①
C
② l
B D C A1 B1
C1
二、方法联想
三、归类巩固
*1．在正三棱柱ABC－A1B1C1中， D为BB1的中点， A1B⊥CD，求证：AA1＝AB．
类型五: 线面垂直
一、前测回顾
1．如图，在四棱锥P－ABCD中，四边形ABCD是菱形，PB＝PD，且E，F分别是BC， CD的中点．
P 求证：平面PEF⊥平面PAC．
提示：设EF与AC交于点O，证EF⊥AC，EF⊥OP，
D 从而得出EF⊥平面PAC C F E A B
3
二、方法联想
（1）证明线面垂直
方法 证明直线与平面内两条相交直线垂直． （2）已知线面垂直 可得线线垂直和面面垂直
D A P F B 三、归类巩固
E C
*1．如图，在四棱锥P－ABCD中，四边形ABCD是平行四边形，PB＝PD，且E，F分别是BC， CD的中点，若平面PEF⊥平面PAC，求证：四边形ABCD是菱形．
*2．在正方体ABCD—A1B1C1D1中，AC交BD于O，点M在棱CC1上，且A1O⊥平面MBD， 求证：M为棱CC1的中点． （线面垂直得线线垂直）
*3．在四面体ABCD中，AD⊥BC，CA＝CB＝CD＝1，BD＝2，则△ABC的面积为_____． （计算证明线线垂直）
*4．在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝AC，AB1⊥BC1，求证：A1C⊥BC1． （利用平行转移线线垂直，从而一条直线与两异面直线的 C1 A1 垂直转化为线面的垂直）
B1 C A 类型六: 面面垂直
一、前测回顾
B
V 1．如图，已知VB⊥平面ABC，侧面VAB⊥侧面VAC，求证：△VAC是直角三角形． 提示：过B作BD⊥VA，垂足为D，
由侧面VAB⊥侧面VAC，得出BD⊥侧面VAC，从面BD⊥AC， 由VB⊥平面ABC，得AC⊥VB，从而AC⊥平面VAB． 所以AC⊥VA．
B
二、方法联想
C A （1）证明面面垂直
关键是找到和另一个平面垂直的垂线，转化为线面垂直． 找垂线的一般方法：
①分别在两个平面内找两条互相垂直的直线，再判断其中一条直线垂直于平面； ②找（或作）两平面交线的垂线．
③若存在第三个平面与其中一个面垂直，则在第三个内作找或作它们的交线的垂线（可以就是第三个与另一个平面的交线），再将这个垂线转移到另一个平面内．
（2）已知面面垂直
优先在其中一个平面内找或作两个平面交线的垂线，转化为线面垂直．
三、归类巩固
**1．在四棱锥P－ABCD中，CD?平面PAD，△PAD是正三角形，DC//AB，DA＝DC＝2AB． 求证：平面PBC?平面PDC.
B P A
4 C
D （存在第三个面与其中一个面垂直）
提示1：取PD中点M，则AM⊥平面PDC，下面只需将AM平移到平面PBC内． 提示2：作出平面PAD与平面PBC的交线PN，只需证明PN⊥平面PDC．
类型七: 有关表面积、体积计算
一、前测回顾
1．设P，A，B，C是球O表面上的四个点，PA，PB，PC两两垂直，且PA＝PB＝1，PC＝2，则球O的表面积是________． 答案 ：6π
2．如图，直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝1，BC＝2，AC＝5，AA1＝3，M为线段B1B上的一动点，则当AM＋MC1最小时，△AMC1的面积为________． 答案： 3
二、方法联想
①表面距离问题考虑表面展开，转化成平面问题 ②体积计算，先证明高，后用体积公式求体积
三、归类巩固
P *1．在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，∠BAD＝60°， 侧棱PA⊥底面ABCD，PA＝2，E为AB的中点，则四面体PBCE的 体积为 ．
*2．如图，在长方体ABCD―A1B1C1D1中，AB＝AD＝3cm，AA1＝2cm， 则四棱锥A―BB1D1D的体积为 cm3． 答案：6 (考查空间几何体的体积计算)
*3．三棱锥P - ABC中，D，E分别为PB，PC的中点，记三棱锥D - ABE的体积V1
为V1，P - ABC的体积为V2，则＝________．
V21
答案： (考查空间多面体的体积的关系) 4
A
D E
B C
综合应用篇
一、例题分析
例1：在四棱锥P－ABCD中，∠ABC＝∠ACD＝90°，∠BAC＝∠CAD＝60°，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点，PA＝2AB．
(1)若F为PC的中点，求证：PC⊥平面AEF； (2)求证：CE∥平面PAB．
F
5
P
E
A B
D
南京市2020届高三数学二轮专题复习资料专题6：空间的平行与垂直问题
