第十章曲线积分与曲面积分习题简答
习题10—1
1 计算下列对弧长的曲线积分： （1）I??Lxds，其中L是圆x2?y2?1中A(0,1)到B()．
11,?)之间的一段劣弧； 22解: (1?
12yA（2）(x?y?1)ds，其中L是顶点为O(0,0),A(1,0)及
L??CoB(0,1)所成三角形的边界；
解:??(x?y?1)ds?3?22．
LxB （3）
??Lx2?y2ds，其中L为圆周x2?y2?x；
22解:??x?yds?2．
L （4）
? Lx2yzds，其中L为折线段ABCD，这里A(0,0,0)，B(0,0,2),C(1,0,2),
D(1,2,3)；
8 解: ?xyzds?5．
L3
2zB(0,0,2)C(1,0,2)D(1,2,3)2 求八分之一球面x?y?z?1(x?0,y?0,z?0)的边界曲线的重心，设曲线的密度??1。
?444?解 故所求重心坐标为?,,?．
?3?3?3??A(0,0,0)222yx
习题10—2
1 设L为xOy面内一直线y?b（b为常数），证明
?Q(x,y)dy?0。
L证明：略.
2 计算下列对坐标的曲线积分： （1）解 :
?Lxydx，其中L为抛物线y2?x上从点A(1,?1)到点B(1,1)的一段弧。
4。 5
?Lxydx?（2）
? L(x2?y2)dx?(x2?y2)dy，其中L是曲线y?1?1?x从对应于x?0时的点到
x?2时的点的一段弧；
解
（3）
? L(x2?y2)dx?(x2?y2)dy?4． 3?L ydx?xdy,L是从点A(?a,0)沿上半圆周x2?y2?a2到点B(a,0)的一段弧；
解 ?ydx?xdy?0.
L
（4）?xy2dy?x2ydx，其中L沿右半圆x2?y2?a2以点A(0,a)为起点，经过点C(a,0)L到终点B(0,?a)的路径；
解 （5）解
?Lxy2dy?x2ydx???4a4。
?L x3dx?3zy2dy?x2ydz，其中L为从点A(3,2,1)到点B(0,0,0)的直线段AB；
?Lx3dx?3zy2dy?x2ydz?87?t3dt??1087。 4?x2?y2?1 ,（6）I??且从z轴?L(z?y)dx?(x?z)dy?(x?y)dz，L为椭圆周?x?y?z?2 ,?正方向看去，L取顺时针方向。
解: ??2?。
习题10—3
1. 利用曲线积分求下列平面曲线所围成图形的面积:
?x?acos3t , (1) 星形线?） (0?t?2?)；3?y?asint ,解: ??a。
(2) 圆x?y?2by，（b?0）； 解: ??b。
2 利用格林公式计算下列曲线积分: (1) 方向；
解: ?18?。 (2)
222382??(y?x)dx?(3x?y)dy，其中L是圆(x?1)L2?(y?4)2?9，方向是逆时针
?Lydx?(3siny?x)dy，其中L是依次连接A(?1,0),B(2,1),C(1,0)三点的折线
段，方向是顺时针方向。
解 :2 . (3)
?L(exsiny?my)dx?(excosy?m)dy，其中m为常数，L为圆x2?y2?2ax上从点A(a,0)到点O(0,0)的一段有向弧； 解 : ?11m?a2?0?m?a2。 22xdy?ydx224x?y?1，取逆时，其中为椭圆L??Lx2?y2y(4) 针方向；
0(0,0)2?oA(2a,0)x解 ??d??2?．
0(5)
?u?u2222u(x,y)?x?yx?y?6x，其中，为圆周取逆时针方向，是dsL??L?n?n?uds?36?。 L?nu沿L的外法线方向导数。
解 ??
3 证明下列曲线积分在整个xOy面内与路径无关，并计算积分值: (1)
?(2,1)(0,0)(2x?y)dx?(x?2y)dy；
?P?Q?1?在整个?y?x解 令P?2x?y，Q?x?2y，则
yB(2,1)OA(2,0)xxOy面内恒成立，因此，曲线积分
(2,1)?(2,1)(0,0)(2x?y)dx?(x?2y)dy在整个xOy面内与路径无
关。为了计算该曲线积分，取如右图所示的积分路径，则有
?(0,0)(2x?y)dx?(x?2y)dy?4?1?5。
(x,y)(0,0)(2)
?(2xcosy?y2sinx)dx?(2ycosx?x2siny)dy；
22解 令P?2xcosy?ysinx，Q?2ycosx?xsiny，
y则
?P?Q??2(ysinx?xsiny)?在整个xOy面内恒成立，因?y?xB(x,y)此，
?(x,y)(0,0)(2xcosy?y2sinx)dx?(2ycosx?x2siny)dy在整
OA(x,0)x个xOy面内与路径无关。为了计算该曲线积分，取如右图所示的积分路径，则有
?(x,y)(0,0)(2xcosy?y2sinx)dx?(2ycosx?x2siny)dy
?x2cosy?y2cosx。
（3）
?(1,2)(2,1)?(x)dx??(y)dy，其中?(x)和?(y)为连续函数。
?P?Q?0?在整个xOy面内恒成立，因此，曲线?y?x解 令P??(x)，Q??(y)，则
(1,2)积分
?(2,1)?(x)dx??(y)dy在整个xOy面内与路径无关。为了计算该曲线积分，取如右图
12所示的积分路径，则有
?(1,2)yC(1,2)(2,1)?(x)dx??(y)dy??2?(x)dx??1?(y)dy。
B(1,1)4 验证下列P(x,y)dx?Q(x,y)dy在整个xOy面内为某一函数u(x,y)的全微分，并求出这样的一个u(x,y)：
（1）(2x?siny)dx?xcosydy； 解 令P?2x?siny，Q?xcosy
A(2,1)xOyB(x,y)??P?Q?cosy ?cosy，?y?x∴ 原式在全平面上为某一函数的全微分，取
O?A(x,0)x(x0,y0)?(0,0)，
u(x,y)??(x,y)(0,0)2Pdx?Qdy=x2?xsiny
222（2）(x?2xy?y)dx?(x?2xy?y)dy；
解 因为P?x?2xy?y，Q?x?2xy?y，所以
2222?P?Q在整个?2x?2y??y?x2222：在整个xOy面内，(x?2xy?y)dx?(x?2xy?y)dy是某xOy面内恒成立，因此，
一函数u(x,y)的全微分，即有
(x2?2xy?y2)dx?(x2?2xy?y2)dy?du。
易知 u(x,y)?131x?x2y?xy2?y3?C。 33（3）ex(1?siny)dx?(ex?2siny)cosydy。
解 令P(x,y)?ex(1?siny)，Q(x,y)?(ex?2siny)cosy，则在全平面上有 ?Q?P??excosy，满足全微分存在定理的条件，故在全平面上， ?x?yex(1?siny)dx?(ex?2siny)cosydy
是全微分．
u(x,y)?ex?1?exsiny?sin2y．
5 可微函数f(x,y)应满足什么条件时，曲线积分
?与路径无关？
Lf(x,y)(ydx?xdy)
解 令P?yf(x,y)，Q?xf(x,y)，则
?P?Q?f(x,y)?yfy(x,y)，?f(x,y)?xfx(x,y)。 ?y?x当
?P?Q?，曲线积分?f(x,y)(ydx?xdy)在整个xOy面内与路径无关。
L?y?x
高等数学科学出版社下册课后答案第十章曲线积分与曲面积分习题简答
