新教材高中数学第六章平面向量及其应用6.2.3向量的数
乘运算应用案巩固提升新人教A版必修第二册
[A 基础达标]
1.设a是非零向量，λ是非零实数，下列结论正确的是( ) A．a与－λa的方向相反 C．a与λa的方向相同
2
B．|－λa|≥|a| D．|－λa|＝|λ|a
解析：选C.当λ取负数时，a与－λa的方向是相同的，选项A错误；当|λ|<1时，|－λa|≥|a|不成立，选项B错误；|－λa|＝|λ|a中等号左边表示一个数，而等号右边表示一个向量，不可能相等，选项D错误；因为λ≠0，所以λ一定是正数，故a与λa的方向相同，故选C.
2．已知向量a，b是两个不共线的向量，且向量ma－3b与a＋(2－m)b共线，则实数m的值为( )
A．－1或3 C．－1或4
B.3 D．3或4
2
2
解析：选A.因为向量ma－3b与a＋(2－m)b共线，且向量a，b是两个不共线的向量，所－3以m＝，解得m＝－1或m＝3.
2－m→→→
3．已知O是△ABC所在平面内一点，D为BC的中点，且2OA＋OB＋OC＝0，则( ) →→A.AO＝2OD →→C.AO＝3OD
→→B.AO＝OD →→D．2AO＝OD
→→→
解析：选B.因为D为BC的中点，所以OB＋OC＝2OD， →→→→→→所以2OA＋2OD＝0，所以OA＝－OD，所以AO＝OD.
→→
4．设a，b不共线，AB＝a＋kb，AC＝ma＋b(k，m∈R)，则A，B，C三点共线时有( ) A．k＝m C．km＋1＝0
B．km－1＝0 D．k＋m＝0
→→
解析：选B.若A，B，C三点共线，则AB与AC共线，
→→
所以存在唯一实数λ，使AB＝λAC，即a＋kb＝λ(ma＋b)，即a＋kb＝λma＋λb，
??λm＝1，所以?
?λ＝k，?
所以km＝1，即km－1＝0.
- 1 -
→→→→
5．(2019·山东青岛胶南八中期中检测)在△ABC中，若AB＋AC＝2AP，则PB等于( ) 1→3→A．－AB＋AC
221→1→C.AB－AC 22
1→3→B.AB－AC 221→1→D．－AB＋AC
22
1→→→1→→→→→1→→→→→
解析：选C.由AB＋AC＝2AP得AP＝(AB＋AC)，所以PB＝PA＋AB＝－(AB＋AC)＋AB＝AB－
2221→
AC. 2
6．若3(x＋a)＋2(x－2a)－4(x－a＋b)＝0，则x＝________． 解析：由已知得3x＋3a＋2x－4a－4x＋4a－4b＝0， 所以x＋3a－4b＝0，所以x＝4b－3a. 答案：4b－3a
→→→→
7．已知点P在线段AB上，且|AB|＝4|AP|，设AP＝λ PB，则实数λ＝________． 1→→→→→1→
解析：因为|AB|＝4|AP|，则AP的长度是PB的长度的，二者的方向相同，所以AP＝PB.
331
答案： 3
8．设a，b是两个不共线的向量．若向量ka＋2b与8a＋kb的方向相反，则k＝________． 解析：因为向量ka＋2b与8a＋kb的方向相反，
所以ka＋2b＝λ(8a＋kb)?k＝8λ，2＝λk?k＝－4(因为方向相反，所以λ＜0?k＜0)．
答案：－4 9．计算：
111
(1)(a＋2b)＋(3a－2b)－(a－b)； 34221??7?13?7??(2)?（3a＋2b）－a－b?－?a＋?b＋a??.
32??6?27?6??72?131??211?解：(1)原式＝?＋－?a＋?－＋?b＝a＋b. ?342??322?1231?7?7?3?(2)原式＝?a＋b?－?a＋b? 2?3?6?7?7171
＝a＋b－a－b＝0. 6262
→→→
10．已知两个非零向量a与b不共线，OA＝2a－b，OB＝a＋3b，OC＝ka＋5b. →→→
(1)若2OA－OB＋OC＝0，求k的值；
- 1 -
(2)若A，B，C三点共线，求k的值．
→→→
解：(1)因为2OA－OB＋OC＝2(2a－b)－a－3b＋ka＋5b＝(k＋3)a＝0，所以k＝－3. →→→→→→(2)AB＝OB－OA＝－a＋4b，AC＝OC－OA＝(k－2)a＋6b，又A，B，C三点共线，则存在λ∈R，
??k－2＝－λ，1→→
使AC＝λAB，即(k－2)a＋6b＝－λa＋4λb，所以?解得k＝.
2?6＝4λ，?
[B 能力提升]
→→→
11．在△ABC中，G为△ABC的重心，记a＝AB，b＝AC，则CG＝( ) 12
A.a－b 3321
C.a－b 33
12B.a＋b 3321D.a＋b 33
1→1→→1→→→
解析：选A.因为G为△ABC的重心，所以AG＝(AB＋AC)＝a＋b，所以CG＝CA＋AG＝－
333
b＋a＋b＝a－b.
12.如图所示，两射线OA与OB交于O，则下列选项中向量的终点落在阴影区域内(不含边界)的有( )
→→
①OA＋2OB； 1→1→③OA＋OB； 23A．①② C．①②③
3→1→
②OA＋OB； 433→1→④OA＋OB. 45B．①②④ D．③④
1
3131323
→→
解析：选A.依题意，在题图中的阴影区域内任取点E，连接OE交AB于点F，则有OE＝λOF→→→→＝λ[xOA＋(1－x)OB]＝λxOA＋(1－x)λOB，其中0
注意到1＋2＝3>1，＋>＋＝1，＋＝<1，＋＝<1，故选A.
43442364520
→
13.如图所示，在△ABC中，D为BC边上的一点，且BD＝2DC，若AC→→
＝mAB＋nAD(m，n∈R)，则m－n＝________．
→→→→→→→→→→
解析：直接利用向量共线定理，得BC＝3DC，则AC＝AB＋BC＝AB＋3DC＝AB＋3(AC－AD)＝→
AB＋3AC－3AD，AC＝－AB＋AD，则m＝－，n＝，那么m－n＝－－＝－2.
答案：－2
→→→
14．已知e，f为两个不共线的向量，若四边形ABCD满足AB＝e＋2f，BC＝－4e－f，CD＝
- 1 -
→→→
1→3→221
2321232
－5e－3f.
→
(1)用e，f表示AD；
(2)证明：四边形ABCD为梯形．
→→→→
解：(1)AD＝AB＋BC＋CD＝(e＋2f)＋(－4e－f)＋(－5e－3f)＝(1－4－5)e＋(2－1－3)f＝－8e－2f.
→→→→→→
(2)证明：因为AD＝－8e－2f＝2(－4e－f)＝2BC，所以AD与BC方向相同，且AD的模为BC的模的2倍，即在四边形ABCD中，AD∥BC，且AD≠BC，所以四边形ABCD是梯形．
[C 拓展探究]
15．设→OA，→OB不共线，且→OC＝aOA→＋bOB→
(a，b∈R)． (1)若a＝13，b＝2
3
，求证：A，B，C三点共线；
(2)若A，B，C三点共线，则a＋b是否为定值？并说明理由． 解：(1)证明：当a＝13，b＝2
3时，
→
OC＝1OA→＋2OB→33
，
所以2→→13(OC－OB)＝3(→OA－→
OC)，
即2 →BC＝→CA，
所以→BC与→CA共线，又→BC与→
CA有公共点C， 所以A，B，C三点共线． (2)a＋b为定值1，理由如下： 因为A，B，C三点共线，所以→AC∥→
AB，
不妨设→AC＝λ→AB(λ∈R)，所以→OC－→OA＝λ(→OB－→
OA)， 即→OC＝(1－λ)→OA＋λ→OB，
又→OC＝aOA→＋bOB→，且→OA，→
OB不共线，
则???a＝1－λ，?所以a＋b＝1(定值)．?
b＝λ，
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新教材高中数学第六章平面向量及其应用6.2.3向量的数乘运算应用案巩固提升新人教A版必修第二册
