6
第3问13分，（16） 式1分，（17） 式1分，（18） 式1分，（19） 式2分，（20） 式2分，（21） 式2分，（22） 式2分，（23） 式1分，（24） 式1分；不依赖第1、2问的结果，用其他方法正确得出此问结果的，同样给分.
四、（20分）
图中所示的静电机由一个半径为R、与环境绝缘的开口（朝上）金属球壳形的容器和一个带电液滴产生器G组成。质量为m、带电量为q的球形液滴从G缓慢地自由掉下（所谓缓慢，意指在G和容器口之间总是只有一滴液滴）。液滴开始下落时相对于地面的高度为h。设液滴很小，容器足够大，容器在达到最高电势之前进入容器的液体尚未充满容器。忽略G的电荷对正在下落的液滴的影响。重力加速度大小为g。若容器初始电势为零，求容器可达到的最高电势Vmax。
参考解答：
设在某一时刻球壳形容器的电量为Q. 以液滴和容器为体系，考虑从一滴液滴从带电液滴产生器 G出口自由下落到容器口的过程. 根据能量守恒有
Qq1Qq . （1） mgh?k?mv2?2mgR?kh?R2R式中，v为液滴在容器口的速率，k是静电力常量. 由此得液滴的动能为
1Qq(h?2R)mv2?mg(h?2R)?k . （2） 2(h?R)R从上式可以看出，随着容器电量Q的增加，落下的液滴在容器口的速率v不断变小；当液滴在容器口的速率为零时，不能进入容器，容器的电量停止增加，容器达到最高电势. 设容器的最大电量为Qmax，则有
Qq(h?2R)mg(h?2R)?kmax?0. （3）
(h?R)R由此得
mg(h?R)RQmax? . （4）
kq容器的最高电势为
QVmax?kmax （5）
R由（4） 和 （5）式得
mg（h－R）Vmax＝ （6）
q
评分标准：本题20分. （1）式6分， （2） 式2分，（3） 式4分，（4） 式2分， （5） 式3分，（6） 式3分.
五、（25分）
d
平行板电容器两极板分别位于z＝± 的平面内，电容器起
2
初未被充电. 整个装置处于均匀磁场中，磁感应强度大小为B，方向沿x轴负方向，如图所示。
1．在电容器参考系S中只存在磁场；而在以沿y轴正方向的恒定速度（0，v，0）（这里（0，v，0）表示为沿x、y、
7
z轴正方向的速度分量分别为0、v、0，以下类似）相对于电容器运动的参考系S'中，可能既有电场（Ex'，Ey'，Ez'）又有磁场（Bx'，By'，Bz'）。试在非相对论情形下，从伽利略速度变换，求出在参考系S'中电场（Ex'，Ey'，Ez'）和磁场（Bx'，By'，Bz'）的表达式。已知电荷量和作用在物体上的合力在伽利略变换下不变。
2．现在让介电常数为ε的电中性液体（绝缘体）在平行板电容器两极板之间匀速流动，流速大小为v，方向沿y轴正方向. 在相对液体静止的参考系（即相对于电容器运动的参考系）S'中，由于液体处在第1问所述的电场（Ex'，Ey'，Ez'）中，其正负电荷会因电场力作用而发生相对移动（即所谓极化效应），使得液体中出现附加的静电感应电场，因而液体中总电场强度不再是（Ex'，Ey'，
ε0Ez'），而是 （Ex'，Ey'，Ez'），这里ε0是真空的介电常数. 这将导致在电容器参考系S中电场不
ε
再为零。试求电容器参考系S中电场的强度以及电容器上、下极板之间的电势差。（结果用ε0、ε、v、B或（和）d表示。）
参考解答：
1. 一个带电量为q的点电荷在电容器参考系S中的速度为(ux,uy,uz)，在运动的参考系S?中的速度
?,u??S中只存在磁场(Bx,By,Bz)?(?B,0,0)，因此这个点电荷在参考系S中所受为(uxy,uz). 在参考系磁场的作用力为 Fx?0,Fy??quzB, （1） Fz?quyB?,Ey?,Ez?)又有磁场(Bx?,By?,Bz?)，因此点电荷q在S?参考系中所受电场在参考系S?中可能既有电场(Ex和磁场的作用力的合力为
??u????Fx??q?(ExyBz?uzBy),
??ux?Bz??uz?Bx?), Fy??q?(Ey?By??u??Fz??q?(Ez??uxyBx)（2）
两参考系中电荷、合力和速度的变换关系为
q??q, (Fx?,Fy?,Fz?)?(Fx,Fy,Fz),?,u??(uxy,uz)?(ux,uy,uz)?(0,v,0) （3）
由（1）、 （2）、 （3）式可知电磁场在两参考系中的电场强度和磁感应强度满足
??(uy?v)Bz??uzBy??0,Ex
??uxBz??uzBx???uzB,Ey??(uy?v)Bx??uyBEz??uxBy （4）
它们对于任意的(ux,uy,uz)都成立，故
?,Ey?,Ez?)?(0,0,vB),(Ex?,By?,Bz?)?(?B,0,0)(Bx （5）
可见两参考系中的磁场相同，但在运动的参考系S?中却出现了沿z方向的匀强电场。
2. 现在，电中性液体在平行板电容器两极板之间以速度(0,v,0)匀速运动. 电容器参考系S中的磁场会在液体参考系S?中产生由（5）式中第一个方程给出的电场. 这个电场会把液体极化，使得液体中的电场为 ?,Ey?,Ez?)?(Ex?0(0,0,vB). （6） ?为了求出电容器参考系S中的电场，我们再次考虑电磁场的电场强度和磁感应强度在两个参考系之间的变换，从液体参考系S?中的电场和磁场来确定电容器参考系S中的电场和磁场. 考虑一带电量
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为q的点电荷在两参考系中所受的电场和磁场的作用力. 在液体参考系S?中，这力(Fx?,Fy?,Fz?)如（2）式所示. 它在电容器参考系S中的形式为
Fx?q(Ex?uyBz?uzBy),
Fy?q(Ey?uxBz?uzBx), Fz?q(Ez?uxBy?uyBx)（7）
利用两参考系中电荷、合力和速度的变换关系（3）以及（6）式，可得
Ex?uyBz?uzBy?0,
Ey?uxBz?uzBx??uzB,Ez?uxBy?uyBx? （8）
?0vB?(uy?v)B?(Ex,Ey,Ez)?(0,0,(对于任意的(ux,uy,uz)都成立，故
?0?1)vB), （9） ?(Bx,By,Bz)?(?B,0,0)可见，在电容器参考系S中的磁场仍为原来的磁场，现由于运动液体的极化，也存在电场，电场强
度如（9）中第一式所示.
注意到（9）式所示的电场为均匀电场，由它产生的电容器上、下极板之间的电势差为
（10） V??Ezd.
由（9）式中第一式和（10）式得
?0?（11） V???1??vBd.
???
评分标准：本题25分.
第1问12分， （1） 式1分， （2） 式3分， （3） 式3分，（4） 式3分，（5） 式2分； 第2问13分， （6） 式1分，（7） 式3分，（8） 式3分， （9） 式2分， （10） 式2分，（11） 式2分.
六、（15分）
温度开关用厚度均为0.20mm的钢片和青铜片作感温元件；在温度为20℃时，将它们紧贴，两端焊接在一起，成为等长的平直双金属片。若钢和青铜的线膨胀系数分别为1.0×10-5/度和2.0×10-5/度。当温度升高到120℃时，双金属片将自动弯成圆弧形，如图所示。试求双金属片弯曲的曲率半径。（忽略加热时金属片厚度的变化。）
参考解答：
设弯成的圆弧半径为r，金属片原长为l，圆弧所对的圆心角为?，钢和青铜的线膨胀系数分别为
?1和?2，钢片和青铜片温度由T1?20?C升高到T2?120?C时的伸长量分别为?l1和?l2. 对于钢
片
d)??l??l1 （1） 2 ?l1?l?1(T2?T1) （2） 式中，d?0.20 mm. 对于青铜片
(r? 9
d)??l??l2 （3） 2 ?l2?l?2(T2?T1) （4）
(r?联立以上各式得 r?2?(?1??2)(T2?T1)d?2.0?102 mm （5）
2(?2??1)(T2?T1)
评分标准：本题15分. （1）式3分， （2） 式3分，（3） 式3分，（4） 式3分， （5） 式3分.
七、（20分）
一斜劈形透明介质劈尖，尖角为θ，高为h。今以尖角顶点为坐标原点，建立坐标系如图（a）所示；劈尖斜面实际上是由一系列微小台阶组成的，在图（a）中看来，每一个小台阶的前侧面与xz平面平行，上表面与yz平面平行。劈尖介质的折射率n随x而变化，n（x）＝1＋bx，其中常数b＞0。一束波长为λ的单色平行光沿x轴正方向照射劈尖；劈尖后放置一薄凸透镜，在劈尖与薄凸透镜之间放一档板，在档板上刻有一系列与z方向平行、沿y方向排列的透光狭缝，如图（b）所示。入射光的波面（即与平行入射光线垂直的平面）、劈尖底面、档板平面都与x轴垂直，透镜主光轴为x轴。要求通过各狭缝的透射光彼此在透镜焦点处得到加强而形成亮纹。已知第一条狭缝位于y＝0处；物和像之间各光线的光程相等。 1．求其余各狭缝的y坐标；
2．试说明各狭缝彼此等距排列能否仍然满足上述要求。
hxyhy? zO??O x
图（a） 图（b） 参考解答：
1. 考虑射到劈尖上某y值处的光线，计算该光线由x?0到x?h之间的光程??y?. 将该光线在介质中的光程记为?1，在空气中的光程记为?2. 介质的折射率是不均匀的，光入射到介质表面时，在
x?0 处，该处介质的折射率n?0??1；射到x处时，该处介质的折射率n?x??1?bx. 因折射率随x
线性增加，光线从x?0处射到x?h1（h1是劈尖上y值处光线在劈尖中传播的距离）处的光程?1与光通过折射率等于平均折射率
10
111 n??n0?nh?1?1?bh?1?bh1 （1） ???????1?12?22的均匀介质的光程相同，即
1 ?1?nh1?h1?bh12 （2）
2忽略透过劈尖斜面相邻小台阶连接处的光线（事实上，可通过选择台阶的尺度和档板上狭缝的位置来避开这些光线的影响），光线透过劈尖后其传播方向保持不变，因而有 ?2?h?h1 （3） 于是
1 ??y???1??2?h?bh12. （4）
2由几何关系有 h1?ytan?. （5） 故
b??y??h?y2tan2?. （6）
2从介质出来的光经过狭缝后仍平行于x轴，狭缝的y值应与对应介质的y值相同，这些平行光线会聚在透镜焦点处.
对于y?0处，由上式得
d(0)=h. （7）
y处与y?0处的光线的光程差为
b2ytan2?. （8） 2由于物像之间各光线的光程相等，故平行光线之间的光程差在通过透镜前和会聚在透镜焦点处时保持不变；因而（8）式在透镜焦点处也成立. 为使光线经透镜会聚后在焦点处彼此加强，要求两束光的光程差为波长的整数倍，即
b y2tan2??k?,k?1,2,3,. （9）
2由此得
2k?2?cot??Ak,A?cot?. （10） y?bb除了位于y=0处的狭缝外，其余各狭缝对应的y坐标依次为
??y????0?? A,2A,3A,4A,. （11） 2. 各束光在焦点处彼此加强，并不要求（11）中各项都存在. 将各狭缝彼此等距排列仍可能满足上述要求. 事实上，若依次取k?m,4m,9m,，其中m为任意正整数，则
ym?mA,y4m?2mA,y9m?3mA,. （12）
这些狭缝显然彼此等间距，且相邻狭缝的间距均为mA，光线在焦点处依然相互加强而形成亮纹. 评分标准：本题20分.
第1问16分， （1） 式2分， （2） 式2分， （3） 式1分，（4） 式1分，（5） 式2分， （6） 式1分，（7） 式1分，（8） 式1分， （9） 式2分， （10） 式1分，（11） 式2分； 第2问4分，（12） 式4分（只要给出任意一种正确的答案，就给这4分）.
八、（20分）
光子被电子散射时，如果初态电子具有足够的动能，以至于在散射过程中有能量从电子转移到光子，则该散射被称为逆康普顿散射。当低能光子与高能电子发生对头碰撞时，就会出现逆康普顿散射。已知电子静止质量为me，真空中的光速为c。若能量为Ee的电子与能量为Eγ的光子相向对碰，
第30届全国中学生物理竞赛复赛考试试题解答与评分标准
