湖南省2019年普通高等学校对口招生考试数学试题含答案
普通高等学校对口招生考试 数学试卷（含答案） 本试题卷包括选择题、填空题和解答题三部分.共4页，时量120分钟，满分120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1,3?,B??0,a?，且A?B??0,1,2,3?，则a?（ C ） 1.已知集合A??A.0 B. 1 C.2 D. 3 2.“x?4”是“x?2 ”的（ A ） A．充分不必要条件 C．充分必要条件 B．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 3.过点P(1, 1) 且与直线3x?4y?0平行的直线方程是（ D ） A、4x?3y?7?0 B、3x?4y?1?0 C、4x?3y?1?0 D、3x?4y?1?0 4.函数f(x)?log2x(x??1,8?)的值域为（ B ） A、[0, 4] B、[0, 3] C、[1, 4] D、[1, 3] 5.不等式x?x?1??0的解集是（ C ） A、?xx??1? B、?xx?0? C、?x?1?x?0? D、xx??1或x?0 36.已知tan??? ，且?为第二象限角，则sin??（ D ） 4?? 4433A、? B、 C、? D、 55557、已知 A, B 为圆x2?y2?1上两点， O为坐标原点，若AB?2，则OA?OB?（ B ） A、?31 B、0 C、 22 D、2 8. 函数 f(x)?Asinx?2 （ A 为常数）的部分图像如图所示，则 A ＝（ A ） A、1 B、2 C、3
D、-1 湖南省2019年普通高等学校对口招生考试数学试题含答案
9.下列命题中，正确的是（ D ） A．垂直于同一条直线的两条直线平行 B．垂直于同一个平面的两个平面平行 C．若平面外一条直线上有两个点到平面的距离相等，则该直线与平面平行 D．一条直线与两个平行平面中的一个垂直，则必与另一个垂直 10.已知直线l:ax?by?1(a,b 为常数）经过点(cos,sin)则下列不等式一定成立的是33（ A ） A、a2?b2?1 B、a2?b2?1 C、a?b?1 D、a?b?1 二、填空题（本大题共 5 小题，每小题 4 分，共 20 分） 11.在一次射击比赛中，某运动员射击 20 次的成绩如下表所示： 单次成绩（环） 次数 7 4 8 6 9 6 10 4 ??则该运动员成绩的平均数是 8.5 （环）； 12．已知向量a??1,0? ，b??0,1?且c?xa?yb，则x?y? 27； 13.?ax?1?的展开式中x的系数为 10，则a? 2； 514.将 2，5，11三个数分别加上相同的常数，使这三个数依次成等比数列，则m? 1 ； 15.已知函数f(x)(x?R)为奇函数,g(x)(x?R)为偶函数，且f(x)?g(x)?x2?4x?1，求 f(2)?g(2)? -13 ． 三、解答题（本大题共 7 小题，其中第 21，22 题为选做题．满分 60 分．解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16.（本小题满分10分） 已知数列?an?为等差数列，若a1?1,a2?3 （I）求数列?an?的通项公式； （II）设bn?(?1)nan，数列?bn?的前n项和为Tn ，求T100 . (Ⅰ)解:设数列?an?公差为d ，则 d?a2?a1?2 故 an?1?(n?1)?2?2n?1 （Ⅱ）解：bn?(?1)n(2n?1)
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T100??1?3?5?7?9???197?199 ?(?1?3)?(?5?7)?（?9?11）??（?197?199）?2?50?10017. （本小题满分10分） 10 件产品在有 2 件不合格品，每一次取一件，有放回地抽取三次，用?表示取到不合格品的次数，求： （I）随机变量的?分布列； （II）三次中至少有一次取到不合格品的概率． （I）解：随机变量?的可能取值为 0，1，2，3，则 64114248043 P(??1)?C1 P(??0)?C3()?()()?35125551251213121241 P(??3)?C3 P(??2)?C3()()?()?3551255125故?的分布列为 ? P 0 64 1251 48 1252 12 1253 1 125（II）三次中至少有一次取到不合格品的概率为 P(??1)?1?6461 ?12512518.（本小题满分 10 分） ?x2,0?x?2已知函数f(x)?? 6?x,2?x?4?（I）画出f(x)的图象； （II）若f(m)?2,求 m 的取值范围． （I）解：作 f (x) 的图象如下所示：
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?m2?2（II）由 ??6?m?2故 m 的取值范围为得2?m?4 2，4 ??19.（本小题满分 10 分） 如图，在三棱柱ABC?A1B1C1中，AA1?底面ABC，AB?BC?1,?ABC?900, 为 AC 的中点。 （Ⅰ）证明： BD?平面ACC1A1 ； （Ⅱ）若直线BA1 与平面ACC1A1所成的角为300 ， 求三棱柱ABC?A1B1C1的体积。 （Ⅰ）证明：略 （Ⅱ）解：VABC?A1B1C1?1 220.（本小题满分 10 分） x2?y2?1 已知椭圆C : 2（I）求椭圆C 的离心率； （II）已知点 M(1,0),直线y?x?1与椭圆Ｃ相交于 A，B 两点，求?ABM的面积． （I）解：由题意得a?2，c?a2?b2?1故椭圆C 的离心率为e?x2?y2?1得3x2?4x?0 （II）解:将y?x?1代入C :2442设A(x1,y1),B(x2,y2)，则AB?(1?1)()2? 33c12 ??a22点M(-1, 0) 到直线y?x?1的距离为 d?11424AB?d???2? 2233?1?0?11?(?1)2?2 S?ABM?选做题：请考生在第 21题，22题中选择一题作答．如果两题都做，则按所做的第21题计分，作答时，请写清题号．
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21．（本小题满分 10 分） 如图，在直角三角形 ABC 中，?ACB?900 ，?ABC?600, M,?ABC为内一点,且MC?1. （Ⅰ）求 AM 的长； （Ⅱ）求sin?AMB的值. （Ⅰ）7 （Ⅱ）sin?AMB?27 722.（本小题满分 10 分） 某企业拟生产产品A和产品B，生产一件产品A需要新型材料2千克，用3个工时；生产一件产品B需要新型材料1千克，用2个工时. 生产一件产品A的利润为1600元,生产一件产品B的利润为1000元. 现有新型材料200千克,问该企业在不超过360个工时的条件下,如何规划生产,才能使企业获得的总利润最大?并求出总利润的最大值. 解：设生产产品A和产品B分别为x件，y件，公司获利为Z，则Z?1600x?1000y， ?2x?y?200?3x?2y?360?由题意得：? x?0??y?0?当,x?40，y?120时，Zmax?1600?40?1000?120?18400（元）
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