高等数学第六版(同济大学)上册课后习题答案解析

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高等数学第六版上册课后习题答案及解析

第一章

习题1?1

1? 设A?(??? ?5)?(5? ??)? B?[?10? 3)? 写出A?B? A?B? A\\B及A\\(A\\B)的表达式?

解 A?B?(??? 3)?(5? ??)?

A?B?[?10? ?5)?

A\\B?(??? ?10)?(5? ??)? A\\(A\\B)?[?10? ?5)?

2? 设A、B是任意两个集合? 证明对偶律? (A?B)C?AC ?BC ? 证明 因为

x?(A?B)C?x?A?B? x?A或x?B? x?AC或x?BC ? x?AC ?BC? 所以 (A?B)C?AC ?BC ?

3? 设映射f ? X ?Y? A?X? B?X ? 证明 (1)f(A?B)?f(A)?f(B)?

(2)f(A?B)?f(A)?f(B)? 证明 因为

y?f(A?B)??x?A?B? 使f(x)?y ?(因为x?A或x?B) y?f(A)或y?f(B) ? y?f(A)?f(B)? 所以 f(A?B)?f(A)?f(B)? (2)因为

y?f(A?B)??x?A?B? 使f(x)?y?(因为x?A且x?B) y?f(A)且y?f(B)? y? f(A)?f(B)?

所以 f(A?B)?f(A)?f(B)?

4? 设映射f ? X?Y? 若存在一个映射g? Y?X? 使g?f?IX? f?g?IY? 其中IX、

IY分别是X、Y上的恒等映射? 即对于每一个x?X? 有IX x?x? 对于每一个y?Y? 有IY y?y? 证明? f是双射? 且g是f的逆映射? g?f ?1?

证明 因为对于任意的y?Y? 有x?g(y)?X? 且f(x)?f[g(y)]?Iy y?y? 即Y中

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任意元素都是X中某元素的像? 所以f为X到Y的满射? 又因为对于任意的x1?x2? 必有f(x1)?f(x2)? 否则若f(x1)?f(x2)?g[ f(x1)]?g[f(x2)] ? x1?x2? 因此f既是单射? 又是满射? 即f是双射?

对于映射g? Y?X? 因为对每个y?Y? 有g(y)?x?X? 且满足f(x)?f[g(y)]?Iy y?y? 按逆映射的定义? g是f的逆映射? 5? 设映射f ? X?Y? A?X ? 证明? (1)f ?1(f(A))?A?

(2)当f是单射时? 有f?(f(A))?A ?

证明 (1)因为x?A ? f(x)?y?f(A) ? f ?(y)?x?f?(f(A))? 所以 f ?1(f(A))?A?

(2)由(1)知f ?1(f(A))?A?

另一方面? 对于任意的x?f ?1(f(A))?存在y?f(A)? 使f ?1(y)?x?f(x)?y ? 因为y?f(A)且f是单射? 所以x?A? 这就证明了f ?1(f(A))?A? 因此f ?1(f(A))?A ? 6? 求下列函数的自然定义域? (1)y?3x?2?

解 由3x?2?0得x??2? 函数的定义域为[?2, ??)?

33 (2)y?12?

1?x 解 由1?x2?0得x??1? 函数的定义域为(??? ?1)?(?1? 1)?(1? ??)? (3)y?1?1?x2?

x 解 由x?0且1?x2?0得函数的定义域D?[?1? 0)?(0? 1]? (4)y?1? 4?x21

1

1

解 由4?x2?0得 |x|?2? 函数的定义域为(?2? 2)? (5)y?sinx?

解 由x?0得函数的定义D?[0? ??)? (6) y?tan(x?1)?

解 由x?1??(k?0? ?1? ?2? ? ? ?)得函数的定义域为x?k????1 (k?0? ?1? ?2?

22.

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? ? ?)?

(7) y?arcsin(x?3)?

解 由|x?3|?1得函数的定义域D?[2? 4]? (8)y?3?x?arctan1?

x 解 由3?x?0且x?0得函数的定义域D?(??? 0)?(0? 3)? (9) y?ln(x?1)?

解 由x?1?0得函数的定义域D?(?1? ??)? (10)

1y?ex?

解 由x?0得函数的定义域D?(??? 0)?(0? ??)?

7? 下列各题中? 函数f(x)和g(x)是否相同？为什么？ (1)f(x)?lg x2? g(x)?2lg x? (2) f(x)?x? g(x)?x2? (3)f(x)?3x4?x3?g(x)?x3x?1?

(4)f(x)?1? g(x)?sec2x?tan2x ? 解 (1)不同? 因为定义域不同?

(2)不同? 因为对应法则不同? x?0时? g(x)??x? (3)相同? 因为定义域、对应法则均相相同? (4)不同? 因为定义域不同?

??|sinx| |x|??3? 求?(?)? ?(?)? ?(??)? ?(?2)? 并作出函数 8? 设?(x)??464 |x|???0 3?y??(x)的图形?

解 ?(?)?|sin?|?1? ?(?)?|sin?|?2? ?(??)?|sin(??)|?2? ?(?2)?0?

442442662 9? 试证下列函数在指定区间内的单调性?

(1)y?x? (??? 1)?

1?x (2)y?x?ln x? (0? ??)?

证明 (1)对于任意的x1? x2?(??? 1)? 有1?x1?0? 1?x2?0? 因为当x1?x2时?

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