第2课时 函数的奇偶性及周期性
一、知识梳理 1．函数的奇偶性
奇偶性 偶函数 定义 如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)是偶函数 如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)是奇函数 图象特点 关于y轴对称 奇函数 关于原点对称 [注意] 奇、偶函数定义域的特点是关于原点对称，函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要不充分条件．
2．函数的周期性
(1)周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期．
(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．
[注意] 不是所有的周期函数都有最小正周期，如f(x)＝5. 常用结论
1．函数奇偶性常用结论
(1)如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(|x|)．
(2)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性，偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性． (3)在公共定义域内有：奇±奇＝奇，偶±偶＝偶，奇×奇＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇． 2．函数周期性常用结论
对f(x)定义域内任一自变量的值x： (1)若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a(a>0)． (2)若f(x＋a)＝
1
，则T＝2a(a>0)． f（x）
1
(3)若f(x＋a)＝－，则T＝2a(a>0)．
f（x）二、习题改编
1．(必修1P35例5改编)下列函数中为偶函数的是( ) A．y＝x2sin x C．y＝|ln x|
B．y＝x2cos x D．y＝2x
－
解析：选B.根据偶函数的定义知偶函数满足f(－x)＝f(x)且定义域关于原点对称，A选项为奇函数，B选项为偶函数，C选项定义域为(0，＋∞)，不具有奇偶性，D选项既不是奇函数，也不是偶函数．故选B.
2．(必修4P46A组T10改编)设f(x)是定义在R上的周期为2的函数，当x∈[－1，1)时，f(x)＝
?－4x2＋2，－1≤x<0，?3??则f?＝ ． 2???x，0≤x<1，?
3??1?1
－＝－4×?－?＋2＝1. 解析：由题意得，f?＝f?2??2??2?答案：1
一、思考辨析
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)若f(x)是定义在R上的奇函数，则f(－x)＋f(x)＝0.( ) (2)偶函数的图象不一定过原点，奇函数的图象一定过原点．( )
(3)如果函数f(x)，g(x)为定义域相同的偶函数，则F(x)＝f(x)＋g(x)是偶函数．( ) (4)定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要条件．( ) (5)若T是函数的一个周期，则nT(n∈Z，n≠0)也是函数的周期．( ) 答案：(1)√ (2)× (3)√ (4)√ (5)√ 二、易错纠偏
常见误区(1)利用奇偶性求解析式忽视定义域； (2)周期不能正确求出从而求不出结果．
1．已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝x(1＋x)，则x<0时，f(x)＝ ． 解析：当x<0时，则－x＞0，所以f(－x)＝(－x)(1－x)．又f(x)为奇函数，所以f(－x)＝－f(x)＝(－x)(1－x)，所以f(x)＝x(1－x)．
答案：x(1－x)
1
2．已知函数f(x)满足f(x＋2)＝－.当1≤x≤3时，f(x)＝x，则f(105)＝ ．
f（x）
1
解析：因为f(x＋2)＝－，所以f(x＋4)＝f(x)，故4为函数f(x)的一个周期．f(105)＝f(4×26＋1)
f（x）＝f(1)＝1.
答案：1
2
判断函数的奇偶性(师生共研)
判断下列函数的奇偶性． 1
(1)f(x)＝x3－；
x
(2)f(x)＝x2－1＋1－x2； x2＋2，x＞0，??
(3)f(x)＝?0，x＝0，
??－x2－2，x<0.
【解】 (1)原函数的定义域为{x|x≠0}，关于原点对称， 并且对于定义域内的任意一个x都有 f(－x)＝(－x)3－
11
x3－?＝－f(x)， ＝－?x??－x
从而函数f(x)为奇函数．
(2)f(x)的定义域为{－1，1}，关于原点对称． 又f(－1)＝f(1)＝0，f(－1)＝－f(1)＝0， 所以f(x)既是奇函数又是偶函数． (3)f(x)的定义域为R，关于原点对称，
当x＞0时，f(－x)＝－(－x)2－2＝－(x2＋2)＝－f(x)； 当x<0时，f(－x)＝(－x)2＋2＝－(－x2－2)＝－f(x)； 当x＝0时，f(0)＝0，也满足f(－x)＝－f(x)． 故该函数为奇函数．
判定函数奇偶性的3种常用方法
(1)定义法
(2)图象法
(3)性质法
①设f(x)，g(x)的定义域分别是D1，D2，那么在它们的公共定义域上：奇＋奇＝奇，奇×奇＝偶，偶＋偶＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇；
②复合函数的奇偶性可概括为“同奇则奇，一偶则偶”．
[提醒] 对函数奇偶性的判断，不能用特殊值法，如存在x0使f(－x0)＝－f(x0)，不能判断函数f(x)是奇函数．
已知函数f(x)＝
A．h(x)＝f(x)＋g(x)是偶函数 B．h(x)＝f(x)＋g(x)是奇函数 C．h(x)＝f(x)g(x)是奇函数 D．h(x)＝f(x)g(x)是偶函数
解析：选A.易知h(x)＝f(x)＋g(x)的定义域为{x|x≠0}，关于原点对称．因为f(－x)＋g(－x)＝x＋
2－－1
x
－xx·2xxx（1－2）－xxxx＝－－＝－＝＋＝f(x)＋g(x)，所以h(x)＝f(x)＋g(x)是偶函数．故选A. 222x－121－2x21－2x
xx
，g(x)＝，则下列结论正确的是( )
22－1
x
－x
函数奇偶性的应用(师生共研)
(2019·高考全国卷Ⅱ)设f(x)为奇函数，且当x≥0时，f(x)＝ex－1，则当x＜0时，f(x)＝( ) A．ex－1 C．－ex－1
－－
B．ex＋1 D．－ex＋1
－
－
【解析】 通解：依题意得，当x<0时，f(x)＝－f(－x)＝－(e－x－1)＝－e－x＋1，选D. 优解：依题意得，f(－1)＝－f(1)＝－(e1－1)＝1－e，结合选项知，选D. 【答案】 D
已知函数奇偶性可以解决的3个问题
(1)求函数值：将待求值利用奇偶性转化为已知区间上的函数值求解． (2)求解析式：将待求区间上的自变量转化到已知区间上，再利用奇偶性求出．
(3)求解析式中的参数：利用待定系数法求解，根据f(x)±f(－x)＝0得到关于参数的恒等式，由系数的对等性得参数的方程或方程(组)，进而得出参数的值．
(一题多解)已知函数f(x)为奇函数，当x>0时，f(x)＝x2－x，则当x<0时，函数f(x)
的最大值为 ．
解析：法一：当x<0时，－x>0，所以f(－x)＝x2＋x. 又因为函数f(x)为奇函数，
11x＋?＋， 所以f(x)＝－f(－x)＝－x－x＝－??2?4
2
2
1
所以当x<0时，函数f(x)的最大值为.
4
111x－?－，最小值为－， 法二：当x>0时，f(x)＝x2－x＝??2?441
因为函数f(x)为奇函数，所以当x<0时，函数f(x)的最大值为.
41答案：
4
函数的周期性(师生共研)
??x＋a，－1≤x<0
(1)(2020·广东六校第一次联考)在R上函数f(x)满足f(x＋1)＝f(x－1)，且f(x)＝?
?|2－x|，0≤x<1，?
2
其中a∈R，若f(－5)＝f(4.5)，则a＝( )
A．0.5 C．2.5
B．1.5 D．3.5
(2)已知f(x)是R上最小正周期为2的周期函数，且当0≤x<2时，f(x)＝x3－x，则函数y＝f(x)的图象在区间[0，4]上与x轴的交点的个数为( )
A．2 C．4
B．3 D．5
【解析】 (1)由f(x＋1)＝f(x－1)，得f(x)是周期为2的函数，又f(－5)＝f(4.5)，所以f(－1)＝f(0.5)，即－1＋a＝1.5，所以a＝2.5.故选C.
(2)当0≤x<2时，令f(x)＝x3－x＝x(x2－1)＝0，所以y＝f(x)的图象与x轴交点的横坐标分别为x1＝0，x2＝1.
当2≤x<4时，0≤x－2<2，又f(x)的最小正周期为2，所以f(x－2)＝f(x)，所以f(x)＝(x－2)(x－1)(x－3)，所以当2≤x<4时，y＝f(x)的图象与x轴交点的横坐标分别为x3＝2，x4＝3.又f(4)＝f(2)＝f(0)＝0，综上可知，共有5个交点．
【答案】 (1)C (2)D
2021版高考文科数学(人教A版)一轮复习教师用书：第二章 第2讲 第2课时 函数的奇偶性及周期性
