§1.2 任意角的三角函数
1．2.1 任意角的三角函数(一)
学习目标 1.通过借助单位圆理解并掌握任意角的三角函数定义，了解三角函数是以实数为自变量的函数.2.借助任意角三角函数的定义理解并掌握正弦、余弦、正切函数值在各象限内的符号.3.通过对任意角的三角函数定义的理解，掌握终边相同的角的同一三角函数值相等．
知识点一 任意角的三角函数
使锐角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，在终边上任取一点P，作PM⊥x轴于M，设P(x，y)，|OP|＝r.
思考1 角α的正弦、余弦、正切分别等于什么？ 答案 sinα＝，cosα＝，tanα＝.
思考2 对确定的锐角α，sinα，cosα，tanα的值是否随P点在终边上的位置的改变而改变？
答案 不会．因为三角函数值是比值，其大小与点P(x，y)在终边上的位置无关，只与角α的终边位置有关，即三角函数值的大小只与角有关．
思考3 在思考1中，当取|OP|＝1时，sinα，cosα，tanα的值怎样表示？ 答案 sinα＝y，cosα＝x，tanα＝. 梳理 (1)单位圆
在直角坐标系中，我们称以原点O为圆心，以单位长度为半径的圆为单位圆． (2)定义
在平面直角坐标系中，设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么：
yrxryxyx
①y叫做α的正弦，记作sin_α， 即sinα＝y；
②x叫做α的余弦，记作cos_α，即cosα＝x； ③叫做α的正切，记作tan_α，即tanα＝ (x≠0)．
对于确定的角α，上述三个值都是唯一确定的．故正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，统称为三角函数．
知识点二 正弦、余弦、正切函数值在各象限的符号
思考 根据三角函数的定义，你能判断正弦、余弦、正切函数的值在各象限的符号吗？ 答案 由三角函数定义可知，在平面直角坐标系中，设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，则sinα＝y，cosα＝x，tanα＝(x≠0)．当α为第一象限角时，y>0, x>0，故sinα>0，cosα>0，tanα>0，同理可得当α在其他象限时三角函数值的符号，如图所示．
yxyxyx
梳理 记忆口诀：“一全正，二正弦，三正切，四余弦”．
知识点三 诱导公式一
思考 当角α分别为30°，390°，－330°时，它们的终边有什么特点？它们的三角函数值呢？
答案 它们的终边重合．由三角函数的定义知，它们的三角函数值相等． 梳理 诱导公式一 sinα＋k·2πsin α， cosα＋k·2πcosα， tanα＋k·2πtan α， 其中k∈Z.
1．sin α，cosα，tan α的大小与点P(x，y)在角α的终边上的位置有关．( × )
＝＝＝提示 三角函数的大小由角α终边位置确定，而与点P(x，y)在终边上的位置无关． 2．终边相同的角的同名三角函数值相等．( √ )
提示 由三角函数的定义可知，终边相同的角的三角函数值相等.
类型一 三角函数定义的应用
命题角度1 已知角α终边上一点的坐标求三角函数值 例1 已知θ终边上一点P(x,3)(x≠0)，且cosθ＝考点 任意角的三角函数 题点 用定义求三角函数的值 解 由题意知r＝|OP|＝x＋9， 由三角函数定义得cosθ＝＝
2
10
x，求sinθ，tanθ. 10
xrx. x2＋9
又∵cosθ＝
10x10x，∴2＝x. 10x＋910
∵x≠0，∴x＝±1. 当x＝1时，P(1,3)， 此时sinθ＝
3103
＝，tanθ＝＝3. 22
1011＋33
当x＝－1时，P(－1,3)， 此时sinθ＝
3－1
2
＋3
2
＝
3103
，tanθ＝＝－3. 10－1
反思与感悟 (1)已知角α终边上任意一点的坐标求三角函数值的方法
在α的终边上任选一点P(x，y)，设P到原点的距离为r(r>0)，则sinα＝，cosα＝.当已知α的终边上一点求α的三角函数值时，用该方法更方便．
(2)当角α的终边上点的坐标以参数形式给出时，要根据问题的实际情况对参数进行分类讨论．
跟踪训练1 已知角α的终边过点P(－3a,4a)(a≠0)，求2sinα＋cosα的值． 考点 任意角的三角函数 题点 用定义求三角函数的值 解 r＝
－3a2
yrxr＋4a2
＝5|a|.
①若a>0，则r＝5a，角α在第二象限，
y4a4x－3a3
sinα＝＝＝，cosα＝＝＝－，
r5a5r5a5
83
∴2sinα＋cosα＝－＝1.
55
②若a<0，则r＝－5a，角α在第四象限， 4a4－3a3
sinα＝＝－，cosα＝＝，
－5a5－5a583
∴2sinα＋cosα＝－＋＝－1.
55综上所述，2sinα＋cosα＝±1.
命题角度2 已知角α终边所在直线求三角函数值
3
例2 已知角α的终边在直线y＝－3x上，求10sinα＋的值．
cosα考点 任意角的三角函数 题点 用定义求三角函数的值 解 由题意知，cosα≠0.
设角α的终边上任一点为P(k，－3k)(k≠0)，则
x＝k，y＝－3k，r＝k2＋－3k2
＝10|k|.
(1)当k>0时，r＝10k，α是第四象限角， sinα＝＝
yr－3k3101r10k＝－，＝＝＝10，
10cosαxk10k3?310?
∴10sinα＋＝10×?－?＋310
cosα?10?＝－310＋310＝0.
(2)当k<0时，r＝－10k，α是第二象限角， sinα＝＝
y－3k310
＝，
r－10k10
1r－10k＝＝＝－10， cosαxk3310∴10sinα＋＝10×＋3×(－10)
cosα10＝310－310＝0.
3
综上所述，10sinα＋＝0.
cosα反思与感悟 在解决有关角的终边在直线上的问题时，应注意到角的终边为射线，所以应分
两种情况处理，取射线上异于原点的任意一点的坐标为(a，b)，则对应角的三角函数值分别为sinα＝
ba2＋b，cosα＝2
aa2＋b，tanα＝. 2
ba跟踪训练2 在平面直角坐标系中，角α的终边在直线3x＋4y＝0上，求sinα－3cosα＋tanα的值．
考点 任意角的三角函数 题点 用定义求三角函数的值
3
解 当角α的终边在射线y＝－x(x>0)上时，取终边上一点P(4，－3)，
4所以点P到坐标原点的距离r＝|OP|＝5， 所以sinα＝＝y－33x4
＝－，cosα＝＝， r55r5
y3
tanα＝＝－. x4
312315
所以sinα－3cosα＋tanα＝－－－＝－.
5544
3
当角α的终边在射线y＝－x(x<0)上时，取终边上一点P′(－4,3)，
4所以点P′到坐标原点的距离r＝|OP′|＝5，
y3x4
所以sinα＝＝，cosα＝＝－，
r5r5
tanα＝＝
y33＝－. x－44
3?4?331239
所以sinα－3cosα＋tanα＝－3×?－?－＝＋－＝.
5?5?45544159
综上，sinα－3cosα＋tanα的值为－或. 44
类型二 三角函数值符号的判断 例3 判断下列各式的符号：
(1)sin145°cos(－210°)；(2)sin3·cos4·tan5. 考点 三角函数值在各象限的符号 题点 三角函数值在各象限的符号
解 (1)∵145°是第二象限角，∴sin145°＞0. ∵－210°＝－360°＋150°，∴－210°是第二象限角， ∴cos (－210°)＜0，∴sin145°cos(－210°)＜0.
高中数学 第一章 三角函数 1.2 任意角的三角函数 1.2.1 任意角的三角函数(一)学案(无答案)新人教A版必
