3 C 4 A 5 C 6 C 7 A 8 C
∵x→∞时，分母极限为令，不能直接用商的极限法则。先恒等变形，将函数“有理化”： 1原式 = lim(x?1?1)(x?1?1)?lim?1. （有理化法） x?0x?0x(x?1?1)x?1?129 D
10 C
x?1x2tanx(1?cosx)12 解 原式?lim?lim?. ▌ 33x?0x?0(2x)8x16注 等价无穷小替换仅适用于求乘积或商的极限，不能在代数和的情形中使用。如上例
中若对分子的每项作等价替换，则 错误！ 原式?limx?0x?x?0.
(2x)3
二.填空题 11. 2 12. 1 13. 0 14 . 5
15 . e 16. x?1,2
17 .(??,??) [0,??) 18. (??,??) {?1,0,1}
19 . 在某一极限过程中，以0为极限的变量，称为该极限过程中的无穷小量 20 . ① 函数y f (x) 在点x0有定义；
② x→x0 时极限
x?x0?2limf(x)存在；
x?x0③ 极限值与函数值相等，即
limf(x)?f(x0)
三. 计算题
21 . 【分析】 \???\型未定式，一般先通分，再用罗必塔法则.
x?x2?1?e?x1?x1x?x2?1?e?x【详解】 lim(=lim ?)?lim2?xx?0x?01?e?xx?0xxx(1?e)1?2x?e?x2?e?x3?. =lim=limx?0x?02x2222. f(x)=3lnx+1 x＞0 23.24.25.
3e
e21 626. ln3;
27. 3
28. 解：由x＋2≥０解得x≥-2
由x－１≠０解得x≠１ 由5－２x＞０解得x＜2.5 函数的定义域为
｛x｜2.5＞x≥-2且x≠1｝或表示为（2.5,1）∪（1,-2）
29. ⑴、⑸是同一函数，因为定义域和对应法则都相同，表示变量的字母可以不同。⑵⑶不是同一函数，因为它们的定义域不相同。⑷不是同一函数，因为它们对应的函数值不相同，即对应法则不同。
22
30. 解：f(x+1)＝(x+1)-1＝x+2x，
22242
f(f(x))＝f(x-1)＝(x-1)-1＝x-2x
2
f(f(3)+2)＝f(3-1+2)＝f(10)＝99
3n2?5n?153??23n2?5n?1nnlim?lim?lim31 . 解：n???6n2?4n?7n???6n2?4n?7n???6?4?nn21n27n2
11?lim23?0?01n???n???nn???n???
11lim6?4lim?7lim26?0?02n???n???nn???nlim3?5limn(n?1)1?2???nn2?n12?lim?lim? 32. 解：lim222n???n???n???nn2n233 . 解：
n???lim(n?1?n)?lim(n?1?n)(n?1?n)n???n?1?n
?limn???1?limn?1?nn???1n?n?1?1n1n???n?0
n?1lim?lim1n???nn???lim22()n?1lim()n?lim12?30?1n???3n???3lim?lim????1 34 . 解：n???nnn???222?3()n?1lim()n?lim10?1n???3n???3nn35 . 解：⑴
因为
x?2lim?y?2,lim?y?3 ，limy?limy
x?2x?2?x?2? 所以 函数在指定点的极限不存在。
1 ⑵ 因为lim?y?sin0?0,lim?y??0?0，lim?y?lim?y
x?0x?0x?0x?03 所以 函数在指定点的极限limx?0y?0
36 .
lim1111x?3lim???x?3x?3limx?lim33?36x?3x?3
x?3x?311?lim?lim?x?3x2?9x?3?x?3??x?3?x?3x?36 37 .
lim38 . limx?0(1?x?1)(1?x?1)1?x?1?x?11?lim?lim?lim?? x?0x?0x2x(1?x?1)x(1?x?1)x?01?x?13211?32x?x?1xx 39 . lim?limx??x??11x3?x?11?2?3xx11lim2?lim?lim3x??x??xx??x2?0?0??2 ?111?0?0lim1?lim2?lim3x??x??xx??x211?2?322x?x?1xx 40. lim?limx3x??x?x?1x??111?2?3xx1112lim?lim2?lim3x??xx??xx??x0?0?0??0 ?111?0?0lim1?lim2?lim3x??x??xx??x2?41. limsin3xsin3x?lim?3?3
x?0x?0x3x22xx??2sinsin?1?cosx1?122???lim?lim?42. lim
x?0x?0x22?x?0x?2x24()??22??1lim(1?)nn??n?e?e 43. =
11lim(1?)3n??n??1?n???1?n?44. ?lim??1?????lim?1????e2
n??n??????n?????n?????1?45. ?lim??1??x??kx????kx22???1?1??????limx???????kx??11kkx1???ek ??1k?x??1??46. ?lim??1???x???x???????x??1????lim?1???x???x???????1?e?1
1??kkx47. ?lim?1?kx? ?e??x?0??ksinx48.解?limf(x)?lim?1x?x0x?0x而f(x0)?f(0)?1?limf(x)?f(0)x?0
函数在x?0处连续。49. 间断，函数在x＝1处无定义且左右极限不存在，第二类间断点 50. 间断，函数在x＝0处左右极限不存在，第二类间断点 51. 间断，limf(x)?0但f(0)＝1，两者不相等，第一类间断点
x?052. 证明：?x0∈(－∞,＋∞)
因为 lim所以 limx?x0f(x)?limx2?(limx)2?x0x?x0x?x02，f(x0)=x0
2
x?x0f(x)?f(x0)
2
因此，函数f(x)＝x是连续函数。
53.
解:解:ln(1?x)lim?limln(1?x)x?lnlim(1?x)x?lne?1 x?0x?0x?0x?x2?1????x?1?lnx??2?0?0 lim??lnx??limx?1?x?1x?1??3
2
1154.
55 . 证明：设f(x)＝2x－3x＋2x－3，
则f(x)在[1,2]上连续，f(1)＝－2<0，f(2)＝5>0 根据零点定理，必存在一点ξ∈(1,2)使f(ξ)＝0， 则x＝ξ就是方程的根。 1x2x?tanx(1?cosx)1 256. 原式?lim?lim?33x?0x?0(2x)8x1657. 证 ?x? (-∞, +∞)，任给x一个增量Δx，对应的有函数y的增量
Δy = sin(x+Δx)-sin x = 2sin?x?cos(x??x).
22∵ 0??y?2sin?x?2?2?x，再由x的任意性知??x，由夹逼准则知，△y → 0（Δx→0）
2正弦函数y = sin x 在其定义域 (-∞, +∞)上处处连续，即它是连续函数。 58. 解 注意f (x)是分段函数，且点x?0两侧f表达式不一致。
(?x)?0， 解法1 ∵f (0 - 0) =lim?x?0lim?x?0， ∴ limf(x)?0. f (0 + 0) =x?0x?0又f (0 ) = 0， ∴ 函数f (x) = ?x?在点x = 0处连续（图1—19）。
解法2 ∵lim?f(x)?lim(?x)?0?f(0)， ∴ 函数在点x?0左连续； ?x?0x?0f(x)?lim?x?0?f(0)， ∴ 函数在点x?0右连续，所以函数在点x?0连续。又∵ xlim ??x?0059. 证 虽然f是分段函数，但点x = 0两侧函数表达式一致。
M?0limf(x)?limxsin1?∵ xx??0?f(0)， ?x?00∴ f(x)在点x = 0处连续
60. 解 令a x–1 = t，则x = log a (1+t ) ，当x→0时，t→0,
1t1lim???lna. ∴ 原式?lim1t?0loga(t?1)t?0logeatloga(t?1)ex?1?1，这表明x→0时，x ? ex - 1. 特别地，limx?0x
(完整版)高等数学函数与极限试题
