高等数学第一章函数与极限试题
一. 选择题
1.设F(x)是连续函数f(x)的一个原函数，\M?N\表示“M的充分必要条件是N”，则必有
（A） F(x)是偶函数?f(x)是奇函数. （B） F(x)是奇函数?f(x)是偶函数.
（C） F(x)是周期函数?f(x)是周期函数. （D） F(x)是单调函数?f(x)是单调函数 2．设函数f(x)?1exx?1,则 ?1（A） x=0,x=1都是f(x)的第一类间断点. （B） x=0,x=1都是f(x)的第二类间断点
（C） x=0是f(x)的第一类间断点，x=1是f(x)的第二类间断点. （D） x=0是f(x)的第二类间断点，x=1是f(x)的第一类间断点.
x?13．设f(x)=x1，x≠0,1,则f[f(x)]= ( )
1X1A） 1－x B） 1?x4．下列各式正确的是 ( )
C） D） x
A）
lim(1+ x?0?1)xx=1 B）
xlim(1+ x?0?1)x?xx=e
C）
lim(1－ x??1)x=-e D）
lim(1+ x??1)x=e
x?ax)?9，则a?( )。
x??x?aA.1； B.?； C.ln3； D.2ln3。
x?1x6．极限：lim()?( )
x??x?15．已知lim(A.1； B.?； C.e； D.e
?22x3?2=（ ） x??x3A.1； B.?； C.0； D.2．
7．极限：lim8．极限：limx?0x?1?1=（ ） x2A.0； B.?； C 1； D.2．
9. 极限：lim(x2?x?x)=（ ）
x???A.0； B.?； C.2； D. 1．
210．极限: limx?0tanx?sinx=（ ）
sin32x16A.0； B.?； C. 1； D.16．
二. 填空题 11．极限limxsinx??2x= . 2x?1=_______________.
12.
arctanxlimxx?013. 若y?f(x)在点x0连续，则lim[f(x)?f(x?)]=_______________；
x?x?sin5x?___________；
x?x0x2n15. lim(1?)?_________________；
n??n14. limx2?116. 若函数y?2，则它的间断点是___________________
x?3x?217. 绝对值函数 f(x)?x??x,x?0;? x ?0,x?0;??x,x?0.?其定义域是 ,值域是
?1,x?0;?18. 符号函数 f(x)?sgnx??0,x?0;
??1,x?0.?其定义域是 ，值域是三个点的集合
19. 无穷小量是
20. 函数y?f(x)在点x0 连续，要求函数y f (x) 满足的三个条件是 三. 计算题 21.求lim(x?01?x1?). ?xx1?e)=3x-2,求f(x)(其中x>0);
x?5x?222.设f(e
x?123.求
(3－x)lim x?2;
24.求
lim x??(
x?1x); x?125.求
lim x?0sinx2 2tan2x(x?3x)x?ax)?9，求a的值； x?ann1n26. 已知lim(x??27. 计算极限lim(1?2?3)
n??28.求
它的定义域。 x?2f?x???lg?5?2x?x?129. 判断下列函数是否为同一函数：
⑴ f(x)＝sinx＋cosx g(x)＝1
2
2
x2?1⑵ f(x)? g(x)?x?1
x?1⑶ f(x)?⑷ f?x??2
?x?1 g(x)?x?1
?2?x?1?2 g(x)?x?1
2
⑸ y＝ax s＝at
2
30. 已知函数 f(x)＝x-1，
求f(x+1)、f(f(x))、f(f(3)+2) 31. 求
3n2?5n?1limn???6n2?4n?7lim
1?2???n32. 求
n???n233. 求
n???
lim(n?1?2n?3nlimn???2n?3n
n)
34. 求
35. 判断下列函数在指定点的是否存在极限
?sinx,x?0?x?1,x?2?⑴ y?? x?2 ⑵ y??1 x?0
x,x?0?x,x?2?3?1
x?3x?3x?337. lim2
x?3x?936. lim38. limx?01?x?1 x2x3?x2?139. 求当x→∞时，下列函数的极限y?
x3?x?12x2?x?140. 求当x→∞时，下列函数的极限y?341.
x?x?1sin3x
x?0x1?cosx42. lim 2x?0x41. lim?1?43. lim?1??n???n?n?3
?1?44. lim?1??
n???n?45. lim(1?x??2n1x) kxx?1?46. lim?1??
x???x?47. lim?1?kx?
x?01x48. 研究函数在指定点的连续性
?sinx,x?0? f(x)??x x0＝0
??1,x?049. 指出下列函数在指定点是否间断，如果间断，指出是哪类间断点。f(x)?50. 指出下列函数在指定点是否间断，如果间断，指出是哪类间断点。
1 ,x＝1 x?1?1?,x?0 ，x＝０ f(x)??x??0,x?051. 指出下列函数在指定点是否间断，如果间断，指出是哪类间断点。
?x2,x?0f(x)?? ，x＝０
1,x?0?52. 证明f(x)＝x2是连续函数
53. limln(1?x)
x?0x54.
?x2?1??lim??lnx? x?1?x?1??tanx?sinx
sin32x55. 试证方程2x3－3x2＋2x－3＝0在区间[1,2]至少有一根 56. limx?057. 试证正弦函数 y = sin x 在 (-∞, +∞) 内连续。
x，x?0；58. 函数f (x) = ?x? = ???x，x?0在点x = 0处是否连续？ ??xsin1，x?0；x59. 函数f(x)=? 是否在点x?0连续？ ?0，x?0ax?1. 60. 求极限 limx?0x答案：
一.选择题
1.A 【分析】 本题可直接推证，但最简便的方法还是通过反例用排除法找到答案.
【详解】 方法一：任一原函数可表示为F(x)??x0f(t)dt?C，且F?(x)?f(x).
当F(x)为偶函数时，有F(?x)?F(x)，于是F?(?x)?(?1)?F?(x)，即 ?f(?x)?f(x)，也即f(?x)??f(x)，可见f(x)为奇函数；反过来，若f(x)为奇函数，则数，从而F(x)??x0f(t)dt为偶函
?x0f(t)dt?C为偶函数，可见(A)为正确选项.
方法二：令f(x)=1, 则取F(x)=x+1, 排除(B)、(C); 令f(x)=x, 则取F(x)=
12x, 排除(D); 2故应选(A).
【评注】 函数f(x)与其原函数F(x)的奇偶性、周期性和单调性已多次考查过. 请读者思考f(x)与其原函数F(x)的有界性之间有何关系? 2. D【分析】 显然x=0,x=1为间断点，其分类主要考虑左右极限.
【详解】 由于函数f(x)在x=0,x=1点处无定义，因此是间断点.
且 limf(x)??，所以x=0为第二类间断点；
x?0 limf(x)?0，lim?f(x)??1，所以x=1为第一类间断点，故应选(D). ?x?1x?1xx【评注】 应特别注意：lim????，lim????. 从而lim?ex?1???，
x?1x?1x?1x?1x?1limexx?1xx?1??0.
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