永和九年，岁在癸丑，暮春之初，会于会稽山阴之兰亭，修禊事也。群贤毕至，少长咸集。此地有崇山峻岭，茂林修竹；又有清流激湍，映带左右，引以为流觞曲水，列坐其次。虽无丝竹管弦之盛，一觞一咏，亦足以畅叙幽情。2018年高考数学一轮复习 第二章 函数、导数及其应用 第12讲 函
数模型及其应用实战演练 理
1．(2016·四川卷)某公司为激励创新，计划逐年加大研发奖金投入．若该公司2015年全年投入研发奖金130万元，在此基础上，每年投入的研发奖金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发奖金开始超过200万元的年份是(参考数据：lg 1.12≈0.05，lg 1.3≈0.11，lg 2＝0.30)( B )
A．2018年 C．2020年
*
B．2019年 D．2021年
解析：设第n(b∈N)年该公司年投入的研发资金开始超过200万元．根据题意得130(1＋12%)
n－1
>200，
n－1
则lg[130(1＋12%)]>lg 200，
∴lg 130＋(n－1)lg 1.12>lg 2＋2， ∴2＋lg 1.3＋(n－1)lg 1.12>lg 2＋2， ∴0.11＋(n－1)×0.05>0.30，
24*
解得n>，又∵n∈N，∴n≥5，∴该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年
5份是2019年．故选B．
2．(2015·北京卷)汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程，下图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况，下列叙述中正确的是( D )
A．消耗1升汽油，乙车最多可行驶5千米
B．以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多 C．甲车以80千米/小时的速度行驶1小时，消耗10升汽油
D．某城市机动车最高限速80千米/小时，相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油 解析：对于A选项，由题图可知，当乙车速度大于40 km/h时，乙车每消耗1升汽油，行驶里程都超过5 km，则A错；
对于B选项，由题意可知，以相同速度行驶相同路程，燃油效率越高，耗油越少，故三
永和九年，岁在癸丑，暮春之初，会于会稽山阴之兰亭，修禊事也。群贤毕至，少长咸集。此地有崇山峻岭，茂林修竹；又有清流激湍，映带左右，引以为流觞曲水，列坐其次。虽无丝竹管弦之盛，一觞一咏，亦足以畅叙幽情。辆车中甲车耗油最少，则B错；
对于C选项，甲车以80千米/小时的速度行驶时，燃油效率为10 km/L，则行驶1小时，消耗了汽油80×1÷10＝8(L)，则C错；
对于D选项，当行驶速度小于80 km/h，在相同条件下，丙车的燃油效率高于乙车，则在该市用丙车比用乙车更省油，则D对．
3．(2014·湖南卷)某市生产总值连续两年持续增加，第一年的增长率为p，第二年的增长率为q，则该市这两年生产总值的年平均增长率为( D )
A．
p＋q2
B．D．
p＋
2
q＋q＋
－1
－1
C．pq p＋
解析：设两年前的年底该市的生产总值为a，则第二年年底的生产总值为a(1＋p)(1＋
q)．设这两年生产总值的年平均增长率为x，则a(1＋x)2＝a(1＋p)(1＋q)，由于连续两年
持续增加，所以x>0，因此x＝＋p＋q－1，故选D．
4．(2015·江苏卷)某山区外围有两条相互垂直的直线型公路，为进一步改善山区的交通现状，计划修建一条连接两条公路和山区边界的直线型公路，记两条相互垂直的公路为
l1，l2，山区边界曲线为C，计划修建的公路为l，如图所示，M，N为C的两个端点，测得
点M到l1，l2的距离分别为5千米和40千米，点N到l1，l2的距离分别为20千米和2.5千米，以l2，l1所在的直线分别为x，y轴，建立平面直角坐标系xOy，假设曲线C符合函数y＝
a2
x＋b(其中a，b为常数)模型．
(1)求a，b的值；
(2)设公路l与曲线C相切于点P，点P的横坐标为t. ①请写出公路l长度的函数解析式f(t)，并写出其定义域； ②当t为何值时，公路l的长度最短？求出最短长度．
解析：(1)由题意知，点M，N的坐标分别为(5,40)，(20,2.5)，
a＝40，??25＋ba分别代入y＝，得?x＋ba??400＋b＝2.5，
2
??a＝1 000，
解得?
?b＝0.?
永和九年，岁在癸丑，暮春之初，会于会稽山阴之兰亭，修禊事也。群贤毕至，少长咸集。此地有崇山峻岭，茂林修竹；又有清流激湍，映带左右，引以为流觞曲水，列坐其次。虽无丝竹管弦之盛，一觞一咏，亦足以畅叙幽情。1 000?1 000?(2)①由(1)知，y＝2(5≤x≤20)，则点P的坐标为?t，2?，
x?
t?
2 000
设在点P处的切线l交x，y轴分别于A，B点，易知y′＝－3，
x1 0002 000
则l的方程为y－2＝－3(x－t)，
tt?3t??3 000?由此得A?，0?，B?0，2?.
t??2??
故f(t)＝
?3t?2＋?3 000?3
?2??t2?2＝2????
6
2
4×10
t＋4，t∈[5,20]．
2
6t4×1016×10
②设g(t)＝t＋4，则g′(t)＝2t－. 5
6
tt令g′(t)＝0，解得t＝102.
当t∈(5,102)时，g′(t)<0，g(t)是减函数； 当t∈(102，20)时，g′(t)>0，g(t)是增函数；
从而，当t＝102时，函数g(t)有极小值，也是最小值，所以g(t)min＝300，则f(t)min
＝153.
故当t＝102时，公路l的长度最短，最短长度为153千米．
2018年高考数学一轮复习第二章函数导数及其应用第12讲函数模型及其应用实战演练理
