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专题一 求极限的方法
【考点】求极限
1、 近几年来的考试必然会涉及求极限的大题目，一般为2-3题12-18分左右，而用极限的
概念求极限的题目已不会出现。一般来说涉及到的方法主要涉及等价量代换、洛必达法则和利用定积分的概念求极限，使用这些方法时要注意条件，如等价量代换是在几块式子乘积时才可使用，洛必达法则是在0比0，无穷比无穷的情况下才可使用，运用极限的四则运算时要各部分极限存在时才可使用等。 2、 极限收敛的几个准则：归结准则（联系数列和函数）、夹逼准则（常用于数列的连加）、
单调有界准则、子数列收敛定理（可用于讨论某数列极限不存在）
3、 要注意除等价量代换和洛必达法则之外其他辅助方法的运用，比如因式分解，分子有理
化，变量代换等等。
11xsinx4、 两个重要极限lim?1 lim(1?)?lim(1?x)x?e，注意变形，如将第二个式
x??x?0x?0xx子x?0lim(1?x)?e1x?中的x变成某趋向于0的函数f(x)以构造“1”的形式的典型求极
限题目。
5、 一些有助于解题的结论或注意事项需要注意总结，如： （1） 利用归结原则将数列极限转化为函数极限
（2） 函数在某点极限存在的充要条件是左右极限存在且相等。有时可以利用这点进行解
题，如
limex?11x?1因左右极限不相等而在这点极限不存在。（当式子中出现绝对值和e
的无穷次方的结构时可以考虑从这个角度出发）
（3） 遇到无限项和式求极限时想三种方法：
①看是否能直接求出这个和式(如等比数列求和)再求极限 ②夹逼定理
③用定积分的概念求解。
（4）如果f(x)/g(x)当x→x0时的极限存在，而当x→x0时g(x)→0，则当x→x0时f(x)也 →0
（5）一个重要的不等式：sinx?x（x?0） *其中方法②③考到的可能性较大。
6、 有关求极限时能不能直接代入数据的问题。
7、 闭区间上连续函数的性质（最值定理、根的存在性定理、介值定理） 8、 此部分题目属于基本题型的题目，需要尽量拿到大部分的分数。
【例题精解·求极限的方法】
方法一：直接通过化简，运用极限的四则运算进行运算。
xm?1【例1】求极限 limn
x?1x?1.*
xm?1(x?1)(xm?1?xm?2?…1)m?lim解 limn=
x?1x?1x?1(x?1)(xn?1?xn?2?…1)n注：此题通过洛必达法则进行求解也非常方便。还可通过变量代换构造等价量。 【例2】求极限lim(x?1?x???2x2?x)
1?xx2?1?x2?x?1 2解 lim(x?1?x???2x2?x)?limx???注：1、遇到“根号加减根号”基本上有两种方法——有理化和采取倒变量的方法。
a1xn?a2xn?1?…?an2、一个最基本的多项式极限lim(系数均不为0)：
x???bxm?bxm?1?…?b12n①若n>m，则极限为正无穷；
②若n a1。（本质为比较次数） b1要注意的是x是趋向于正无穷，而且分子分母遇到根号时要以根号里x的最高次的计算，如x2?1的次数为1。 1次来2方法二：利用单调有界准则来证明极限存在并求极限 【例3】设u1??12，un?1?12?un(n?1,2,...),证明limun存在并求之 n?? .* 方法三：利用夹逼定理——适用于无限项求极限时可放缩的情况。 【例4】求极限lim11?n2?n3?...?nnn??n?? 111nnnn1?2?3?...?n??nn=nn 解 因 1=?n?nnn??n而 lim1=limn=1 n??n??1nnnlim1?2?3?...?n故由夹逼定理n??n??=1 方法四&方法五：等价量代换、洛必达法则——未定式极限。（化加减为乘除！） etanx?exlim【例5】求极限x?0tanx?x ex(etanx?x?1)ex(tanx?x)lim?lim?1 解 原式=x?0x?0tanx?xtanx?x 【例6】求极限 解 x???limx(a?a1x1x?121x1x?1) 1x?111?xx?11x(x?1)x???limx2(a?a)=limx2ax???(a?1)?limx2?1?(ax????1)= x??? limx2?1?1?lna?lna x(x?1).* 【例7】求极限x?0lim1+tanx?1?sinx?sinx?x2?(3(1?x2)4?1)2324 解 原式=limx?0(1+tanx?1?sinx)(1+tanx?1?sinx)?sinx?x?((1?x)?1)(1+tanx?1?sinx) =limtanx(1?cosx)tanx?sinx =lim x?0x?04sinx4??x??x??x2?2?sinx?x2??3x2?2?x?313x32=lim? x?04x?1?x2?2163 【例8】求极限lim1?cosxcos2xcos3x x?01?cosx解：直接运用洛必达法则和等价量代换可得 limlim1?cosxcos2xcos3x= x?01?cosxsinxcos2xcos3x4cosxsin2xcos3x9cosxcos2xsin3x= ?lim?limx?0x?0x?0x2x3xsinxcos2xcos3x2cosxsin2xcos3x3cosxcos2xsin3x= ?lim?limx?0x?0x?0sinxsinxsinxsinxcos2xcos3x2cosxsin2xcos3x3cosxcos2xsin3x= lim?lim?limx?0x?0x?0xxxsinxcos2xcos3x4cosxsin2xcos3x9cosxcos2xsin3x=1+4+9=14 lim?lim?limx?0x?0x?0x2x3xlim 【例9】求极限limlogx(x?x) x???ab解： 由换底公式， ln(xa?xb)?axa?bxbaxa?bxb=lim()=lim=lim x???lnx?x???xa?xbx???xa?xb若a?b，则极限为a；若a?b，则极限为b，综上，极限为max{a,b} 方法六：幂指函数求极限——取对数再取指数。 .* 1??【例10】lim?nsin?n??n??n2(1?) x21解 1?1????sint?t2lim?nsin?=lim?xsin??lim???n??x???t?0nxt??????n2 ?sint??lim1??1???t?0?t?tsint?t1??2sint?ttt ?esint?t?0?3?0???t?0?tlim1lnx?et?0?limcost?13t2?e?16 ???lim?arctanx【例11】x?+????2?(00) 1lnx???ln??arctanx?2?(?)lim?x?+?lnx? 解 ???lim??arctanx?x?+?2??1=e)?x????(?1x11?x2lim2?arctanx?e ?e?1 0()x?????arctanx02lim1?x2(?x) ?e x???1?x2lim1?x2?ex?e?1???【例12】求极限xlim???x??arccotx ?注意x是趋向正无穷，此时需要先分析底数和指数分别趋向于多少，分析底数易知底数趋 向于正无穷。但是指数arccotx这个函数不是很熟，可以通过图像先分析cotx再分析arccotx趋向于多少，最后得出结论是指数趋于0。故是一个“?”型，所以要用“先取对 0
微积分求极限的方法（2·完整编辑版） - 图文
