1.1 分类加法计数原理与分步乘法计
数原理
第1课时 分类加法计数原理与分步乘
法计数原理
学 习 目 标 1.通过实例，能归纳总结出分类加法计数原理、分步乘法计数原理．(重点) 2.正确地理解“完成一件事情”的含义，能根据具体问题的特征，选择“分类”或“分步”．(易混点) 3.能利用两个原理解决一些简单的实际问题．(难点) 核 心 素 养 1.通过两个计数原理的学习，体现了逻辑推理的素养． 2.借助两个计数原理解决一些简单的实际问题，提升数学运算的素养.
1．分类加法计数原理
思考1：若完成一件事情有几类不同的方案，在第1类方案中有m1种不同方法，在第2类方案中有m2种不同的方法，…，在第n类方案中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有多少种不同方法？
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[提示] 共有m1＋m2＋…＋mn种不同方法． 2．分步乘法计数原理
思考2：完成一件事需要n个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法，…，做第n步有mn种不同的方法，则完成这件事共有多少种不同的方法？
[提示] 共有m1×m2×…×mn种不同的方法．
1．从甲地到乙地有两类交通方式：坐飞机和乘轮船，其中飞机每天有3班，轮船有4班．若李先生从甲地去乙地，则不同的方法共有( )
A．3种 C．7种
B．4种 D．12种
C [由分类加法计数原理，从甲地去乙地共3＋4＝7(种)不同的方法．] 2．已知x∈{2,3,7}，y∈{－3，－4,8}，则x·y可表示不同的值的个数为( ) A．10个 C．8个
B．6个 D．9个
D [因为x从集合{2,3,7}中任取一个值共有3个不同的值，y从集合{－3，－4,8}中任取一个值共有3个不同的值，故x·y可表示3×3＝9个不同的值．]
3．某商场共有4个门，购物者若从任意一个门进，从任意一个门出，则不同走法的种数是________．
16 [不同的走法可以看作是两步完成的，第一步是进门共有4种；第二步是出门，共有4种．由分步乘法计数原理知共有4×4＝16(种)．]
利用分类加法计数原理解题 【例1】 在所有的两位数中，个位数字比十位数字大的两位数有多少个？ [思路点拨] 根据情况安排个位、十位上的数字．
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先确定分类标准，再求出每一类的个数，最后得结论． [解] 法一：分析个位数，可分以下几类：
个位是9，则十位可以是1,2,3，…，8中的一个，故有8个； 个位是8，则十位可以是1,2,3，…，7中的一个，故有7个；
同理，个位是7的有6个；个位是6的有5个；……；个位是2的只有1个．
由分类加法计数原理知，满足条件的两位数有 1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＝36(个)．
法二：按十位数上的数字分别是1,2,3,4,5,6,7,8的情况分成8类，在每一类中满足题目条件的两位数分别有8个，7个，6个，5个，4个，3个，2个，1个，由分类加法计数原理知，符合题意的两位数共有
8＋7＋6＋5＋4＋3＋2＋1＝36(个)．
法三：将个位比十位数字大的两位数一一写出： 12,13,14,15,16,17,18,19， 23,24,25,26,27,28,29， 34,35,36,37,38,39， 45,46,47,48,49， 56,57,58,59， 67,68,69， 78,79， 89.
共有36个符合题意的两位数．
1．(变结论)本例中条件不变，求个位数字小于十位数字且为偶数的两位数的个数．
[解] 当个位数字是8时，十位数字取9，只有1个． 当个位数字是6时，十位数字可取7,8,9，共3个． 当个位数字是4时，十位数字可取5,6,7,8,9，共5个． 同理可知，当个位数字是2时，共7个． 当个位数字是0时，共9个．
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由分类加法计数原理知，符合条件的数共有1＋3＋5＋7＋9＝25(个)． 2．(变条件，变结论)用数字1,2,3可以组成多少个没有重复数字的整数？ [解] 分三类：
①第一类为一位整数，有1,2,3，共3个；
②第二类为二位整数，有12,13,21,23,31,32，共6个； ③第三类为三位整数，有123,132,213,231,312,321，共6个． ∴共组成3＋6＋6＝15个无重复数字的整数．
利用分类加法计数原理计数时的解题流程
提醒：确定分类标准时要确保每一类都能独立的完成这件事．
利用分步乘法计数原理解题 【例2】 已知a∈{1,2,3}，b∈{4,5,6,7}，r∈{8,9}，则方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2可表示多少个不同的圆？
[思路点拨] 确定一个圆的方程需要分别确定出圆心的横坐标、纵坐标、半径，可以用分步乘法计数原理解决．
[解] 完成表示不同的圆这件事，可以分为三步： 第一步：确定a有3种不同的选取方法； 第二步：确定b有4种不同的选取方法； 第三步：确定r有2种不同的选取方法．
由分步乘法计数原理，方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2可表示不同的圆共有3×4×2＝24(个)．
利用分步乘法计数原理计数时的解题流程
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提醒：分步时要注意不能遗漏步骤，否则就不能完成这件事．
1．已知集合M＝{－3，－2，－1,0,1,2}，P(a，b)(a，b∈M)表示平面上的点．问： (1)点P可表示平面上多少个不同的点？
(2)点P可表示平面上第二象限内多少个不同的点？
[解] (1)确定平面上的点P(a，b)，可分两步完成：第1步确定a的值，有6种不同的结果；第2步确定b的值，也有6种不同的结果．根据分步乘法计数原理，得到点P可表示平面上不同点的个数为6×6＝36.
(2)确定平面上第二象限内的点P(a，b)，可分两步完成：第1步确定a的值，由于a<0，所以有3种不同的结果；第2步确定b的值，由于b>0，所以有2种不同的结果．由分步乘法计数原理，得到点P可表示平面上第二象限内不同的点的个数为3×2＝6.
两个计数原理的简单综合应用 [探究问题] 如何区分一个问题是“分类”还是“分步”？
[提示] 如果完成这件事，可以分几种情况，每种情况中任何一种方法都能完成任务，则是分类；而从其中一种情况中任取一种方法只能完成一部分任务，且只有依次完成各种情况，才能完成这件事，则是分步．
【例3】 一个袋子里装有10张不同的中国移动手机卡，另一个袋子里装有12张不同的中国联通手机卡．
(1)某人要从两个袋子中任取一张手机卡供自己使用，共有多少种不同的取法？
(2)某人手机是双卡双待机，想得到一张移动卡和一张联通卡供自己今后使用，问一共有多少种不同的取法？
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第1章 1.1 第1课时 分类加法计数原理与分步乘法计数原理
