.
解(2):
?5y??（x?3）?5,4242?22（b?a）y?by?b2?a2b2?0. 由方程组?可得255?b2x2?a2y2?a2b2,?b2?a2b2设设A(x1,y1),B(x2,y2), 则y1?y2?，y1y2?4242b?a2b?a255uuuuruuur由AM?2MB可知, y1?2y2 ,
b2?a2b2∴ y1?,y2?, ∴ ?4242442b?a2b?a2b2?a2（b2?a2）555525a（a2?1）?0 ∴ 4b?9?a2242b5.
?42b582b5322b5,
∵ V?(?4224b)?4(b2?a2)(b2?a2b2)?0, ∴ 5a2?4b2?5,
552?5a2(a2?1)?5a(a?1)?0,?2?0,??9?a2∴ ?9?a2 ∴ ? 1?a?9.
22?5a2?4b2?5,?5a2?5a(a?1)?5,??9?a2?225a（a2?1）41222?4aa?或a?9, ∵ b?a, ∴ 4b?, ∴ 29?a9222∴ 1?a2?4141, 1?a?, 39241241). ,即椭圆C的长轴长的取值范围为(2,33 ∴ 2?2a?10.自点
A(0,?1)向抛物线C:y?x2作切线AB,切点为B,且点B在第一象限,再过线
段AB的中点M作直线l与抛物线C交于不同的两点E,F,直线AE,AF分别交抛物线C于P,Q两点. (1) 求切线AB的方程及切点B的坐标;
uuuruuur(2) 证明PQ??AB(??R).
解(1): 设切点B的坐标为
(x0,y0),过点B的切线的方程为
.
.
y?2x0(x?x0)?x02,
∵ 切线过点
A(0,?1), ∴ ?1?2x0(?x0)?x02, x0?1,
y0?1,
∵ 点B在抛物线上, ∴ ∴ 切线AB的方程为 分析: 即证明
y?2x?1, 切点B的坐标为(1,1).
AB∥PQ.
M的坐标为
(2) 证明: 由(1)可知, 线段AB的中点
1(,0),设直线l的方程为21y?k(x?), E(x1,x12),F(x2,x22),P(x3,x32),Q(x4,x42).
21?y?k(x?),11?由方程组?2 可得x2?mx?m?0, 故x1?x2?m,x1x2?m.
22?y?x2,?uuurPQ?(x4?x3,x42?x32)?(x4?x3)(1,x4?x3).
x32?1x12?1∵ A,E,P三点共线, ∴ =,x1x3?1 , 同理x2x4?1,
x1x3uuurx?x2(x1?x2)1111x?x?)(1,?)=12(1,12)?(1,2) ∴ PQ?(x2x1x2x1x1x2x1x2muuuruuuruuur2(x1?x2)由AB?(1,2)可知, PQ??AB(其中???R).
mx2y211. 设双曲线2?2?1(a?0,b?0)的右顶点为A, P为双曲线上异于点A的一个动点, 从A引双
ab曲线的渐近线的两条平行线与直线OP分别交于Q和R两点.
uuur2uuuruuur(1) 证明:无论P点在什么位置,总有OP?OQ?OR值范围.
(1) 证明: 设直线OP的方程为
(O为坐标原点);
(2) 若以OP为边长的正方形的面积等于双曲线的实,虚轴围成的矩形的面积,求双曲线的离心率的取
y?kx, 直线AR的方程为
y?b(x?a), AQa的方程为
by??(x?a).
ab?uuury?(x?a),?ab?kab?ab?kab?,), ∴ OR=(,), 由方程组? 得 R(aak?bak?bak?bak?b?y?kx,?.
.
uuurabkab同理OQ=(,),
ak?bak?buuuruuur?ab?kab?ab?kab∴ OQ?OR=(,)?(,)ak?bak?bak?bak?b设P(m,n),
a2b2(1?k2)=.
a2k2?b2?x2y2a2b2k2a2b2?2?2?1,22由方程组?a得m?2,n?2b22b?akb?a2k2?y?kx,?uuur2a2b2(1?k2)∴ OP=. 222b?ak
uuur2uuuruuur∵ 直线OP过原点, ∴ b?ak?0, ∴ OP?OQ?OR222.
(2) 解: 由题设知,
a2b2(1?k2)4b2?ab2?0,=4ab, k?b2?a2k2ab?4a22
b2又k?2a解得a?4b, ∴ e
圆锥曲线的一个统一性质
4b2?abb2?2, ∴ 2aab?4a.
, (恒成立))
?174———由一道高考题引发出的思考
题（2001年全国·理）：
设抛物线y2=2px（p>0）的一个焦点为F，经过点F的直线交抛物线于A、B两点，点C在抛物线的准线上，且BC∥x轴。证明：直线AC经过原点O。
参考答案给出了如下的几何证法：
证明：如图，记x轴与抛物线准线l的交点为E， 过A作AD⊥l，D是垂足．则 AD∥FE∥BC． 连结AC，与EF相交手点N，则
l D
Y A |EN||CN||BF||NF||AF|??,?
|AD||AC||AB||BC||AB|根据抛物线的几何性质，|AF|=|AD|，|BF|=|BC|
O E C N B F X ?|EN|?|AD|?|BF||AF|?|BC|??|NF|,
|AB||AB|
即点N是EF的中点，与抛物线的顶点O重合， 所以直线AC经过原点O．
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解析几何经典例题
